terça-feira, 30 de dezembro de 2008

Números perfeitos

Os divisores do número 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Excluindo-se desse conjunto de divisores o número 28, os que sobram, ou seja, 1, 2, 4, 7 e 14, são chamados de divisores próprios do número 28, portanto:

Os divisores próprios de um número inteiro e positivo são todos os divisores desse número diferentes do próprio número.

 

Ainda no caso do número 28, observe que a soma de seus divisores próprios, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , vale 28. Quando issso ocorre, dá-se a esse número o nome de número perfeito, logo:

Número perfeito é aquele número inteiro e positivo cuja soma dos divisores próprios é igual a esse número.

 

Além dos números perfeitos, existem também as denominações de números deficientes e números abundantes.

Um número é deficiente quando a soma de seus divisores próprios é menor que o número. Um exemplo de número deficiente é o 15. Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15. Seus divisores próprios são 1, 3 e 5. Observe que 1 + 3 + 5 = 9,  que é menor que 15. Logo, o número 15 é um número deficiente.

Se, por outro lado, a soma dos divisores próprios de um número é maior que esse número, o mesmo é chamado de número abundante. É o caso do número 18, que tem como divisores os números 1, 2, 3, 6, 9 e 18. A soma de seus divisores próprios vale 21, portanto maior que 18.

Os quatro primeiros números perfeitos: 6, 28, 496 e 8128, já eram conhecidos na Grécia Antiga e Euclides (360 a.C. — 295 a.C.) mostrou ser possível obtê-los pela fórmula :

2p – 1. (2p – 1)

na qual p é um número primo e o segundo fator, (2p – 1), deve resultar em um número primo.

De fato, a fórmula se apresenta verdadeira para os quatro primeiros números perfeitos, veja:


para p= 2 –> 21(22 - 1) = 6
para p = 3 –>  22(23- 1) = 28
para p = 5 –> 24(25 - 1) = 496
para p = 7 –> 26(27 - 1) = 8.128

 

Era de se esperar que com essa fórmula fosse possível obter qualquer número perfeito. A linha de raciocínio era a seguinte :

– se ela nos fornece o primeiro número perfeito (6) ao utilizarmos nela o primeiro número primo (p = 2);

– se ela nos fornece o segundo número perfeito (28) ao utilizarmos o segundo número primo (p = 3);

– então,  será de se esperar que o quinto número perfeito seja obtido ao utilizarmos nela o quinto número primo (p = 11). 

Porém, nesse ponto, a fórmula falha, uma vez que para p = 11, o segundo fator da fórmula fica:

211 - 1 = 2047

e 2047 não é um número primo, visto que é o produto de 23 por 89. (Vale relembrar que o segundo fator da fórmula, deve resultar em número primo).

Brinque um pouco com o joguinho a seguir:

 

 

Para melhor visualização do jogo, clique no link a seguir:

 http://nautilus.fis.uc.pt/mn/perfeitos/index.html

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla 
29/12/2008

sábado, 27 de dezembro de 2008

A Matemática e a Música

Compartilhe na companhia do Pato Donald, esta divertida aula de Matemática e Música.

 

Donald no país da matemágica de Walt Disney.

Veja também as seguintes postagens:

Pitágoras e os números irracionais

Os pitagóricos e os números

segunda-feira, 22 de dezembro de 2008

O tesouro de Bresa

Houve outrora, na Babilônia, um pobre e modesto alfaiate chamado Enedim, homem inteligente e trabalhador, que não perdia a esperança de vir a ser riquíssimo. Como e onde, no entanto, poderia encontrar um tesouro fabuloso e tornar-se assim, rico e poderoso?

bau3 Um dia, parou na porta da sua humilde casa, um velho mercador vindo da Fenícia, que vendia uma infinidade de objetos extravagantes. Por curiosidade, Enedim começou a examinar as bugigangas oferecidas, quando descobriu, entre elas, uma espécie de livro de muitas folhas, onde se viam caracteres estranhos e desconhecidos. Era uma preciosidade aquele livro, afirmava o mercador, e custava apenas três dinares. Era muito dinheiro para o pobre alfaiate, razão pela qual o mercador concordou em vender-lhe o livro por apenas dois dinares.
Logo que ficou sozinho, Enedim tratou de examinar sem demora, o bem que havia adquirido. Qual não foi a sua surpresa quando conseguiu decifrar, na primeira página, a seguinte legenda: "O segredo do tesouro de Bresa". Que tesouro seria esse?

Enedim recordava vagamente de já ter ouvido qualquer referência a isto, mas não se lembrava onde, nem quando.

Mais adiante decifrou: "O tesouro de Bresa, enterrado pelo gênio do mesmo nome entre as montanhas do Harbatol, foi ali esquecido, e ali se acha ainda, até que algum homem esforçado venha encontrá-lo".

Muito interessado, o esforçado tecelão dispôs-se a decifrar todas as páginas daquele livro, para apoderar-se de tão fabuloso tesouro. Mas, as primeiras páginas eram escritas em caracteres de vários povos, o que fez com que Enedim estudasse os hieróglifos egípcios, a língua dos gregos, os dialetos persas e o idioma dos judeus. Em função disso, no final de três anos Enedim deixava a profissão de alfaiate e passava a ser o intérprete do rei, pois não havia na região ninguém que soubesse tantos idiomas estrangeiros. Passou a ganhar mais e a viver numa confortável casa.

Continuando a ler o livro encontrou várias páginas cheias de cálculos, números e figuras. Para entender o que lia, estudou matemática com os calculistas da cidade e, em pouco tempo, tornou-se grande conhecedor das transformações aritméticas. Graças aos novos conhecimentos, calculou, desenhou e construiu uma grande ponte sobre o rio Eufrates, o que fez com que o rei o nomeasse Presidente perfeito da Câmara local.

Ainda por força da leitura do livro, Enedim estudou profundamente as leis e princípios religiosos do seu país, sendo nomeado primeiro-ministro daquele reino, em decorrência do seu vasto conhecimento. Passou a viver em sumptuoso palácio e recebia as visitas dos príncipes mais ricos e poderosos do mundo.

Graças ao seu trabalho e ao seu conhecimento, o reino progrediu rapidamente, trazendo riquezas e alegrias para todo o seu povo. No entanto, ainda não conhecia o segredo de Bresa, apesar de ter lido e relido todas as páginas do livro.

Certa vez, teve a oportunidade de questionar um venerando sacerdote a respeito daquele mistério, que sorrindo esclareceu:

– O tesouro de Bresa já está em seu poder, pois graças ao livro você adquiriu grande saber, que lhe proporcionou os invejáveis bens que possui.
Afinal, Bresa significa "saber" e Harbatol quer dizer "trabalho". Com estudo e trabalho pode o homem conquistar tesouros inimagináveis.

O tesouro de Bresa é o saber, que qualquer homem esforçado pode alcançar, por meio de bons livros, que possibilitam "tesouros encantados" àqueles que se dedicam aos estudos com amor e tenacidade.

Malba Tahan, Os melhores contos.

O número 142857

Se o multiplicamos por 2,o produto é:

142857 x 2 = 285714

Os dígitos que formam o produto são os mesmos do número dado, com uma ordem diferente

Se o multiplicamos por 3, obtemos:

142857 x 3 = 428571

Vamos fazer a multiplicação por 4:

142857 x 4 = 571428

Da multiplicação por 5 resulta:

142857 x 5 = 714285

A multiplicação por 6 é:

142857 x 6 = 857142

Multiplicando-o por 7 chegamos a um resultado curioso:

142857 x 7 = 999999

Se o multiplicamos por 8 o produto é:

142857 x 8 = 1142856

Todos os algarismos do número original aparecem no produto, à exceção do 7, que se decompôs em duas partes: 6 e 1.

Por fim, ao multiplicar por 9 resulta:

142857 x 9 = 1285713

Podemos ver que o único dígito que não aparece é o 4, que aparece decomposto em duas partes: o 1 e o 3.

O número 142857 tem suficientes e relevantes propriedades para ser incluído entre os números mais curiosos que existem.

Existirão outros números como este?

Tirado do livro: "O Homem que Sabia Contar" de Malba Tahan

domingo, 14 de dezembro de 2008

Sobre números primos

 

Número primo é todo número inteiro maior que 1 que somente é divisível por si próprio e pela unidade.

 

Crivo de Eratóstenes A palavra primo, quando nos referimos a números primos, ao contrário do que se possa pensar, não denota parentesco. Sua origem se deve a um antigo conceito numérico dos pitagóricos.

Acredita-se que a noção de número primo tenha sido introduzida por Pitágoras, filósofo e matemático grego que nasceu em Samos por volta do ano 570 a. C. e morreu em Metaponto por volta do ano 497 a.C..

Para os pitagóricos, o número um, ao qual chamavam de unidade (monad, em grego), era o elemento gerador dos demais, que recebiam simplesmente a denominação de número (arithmós, em grego).

Nessa época, os matemáticos gregos dividiam, o que hoje chamamos de números naturais, em três classes:

  • a monad ( ou unidade, ou 1 ).
  • os protói arithmói ( números primos ) ou asynthetói arithmói ( números incompostos ).

são aqueles que não podem ser gerados pelo produto de outros arithmói, como é o caso de: 2, 3, 5, 7, 11, ...

  • os deuterói arithmói ( números secundários ) ou synthetói arithmói ( números compostos ).

são aqueles que são gerados pelo produto de outros arithmói, como é o caso de 4 = 2.2, 6 = 2.3, 8 = 2.4, 9 = 3.3, etc.

 

Em os Elementos de Euclides (300 a.C.) os números primos são definidos de acordo com as idéias apresentadas pelos pitagóricos acerca do assunto.

Eratóstenes  (276 - 194 a.C.) foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego. Dentre suas contribuições, destaca-se um método para a determinação de números primos, que é conhecido como o crivo de Eratóstenes.

Acompanhe, através do exemplo a seguir, com o qual vamos determinar os números primos menores que 120, como funciona o crivo de Eratóstenes.
Antes de mais nada, listamos em uma tabela, em ordem crescente, todos os números naturais de 2 até 120.
O próximo passo consiste em marcar o número 2 como número primo. Eliminamos a seguir todos os números maiores que 2 e múltiplos de 2 (4, 6, 8, ...), que não são primos, porque são números pares.
Os próximos números a serem eliminados da tabela são os múltiplos de 3 maiores que 3 (9,15,21,..); que também não são primos, pois são divisíveis por 3.
Continuando, eliminamos os múltiplos de 5 maiores que 5 e, finalmente, os múltiplos de 7 maiores que 7.
Os números que restarem são todos os números primos menores do que 120.

Confira na tabela a seguir, a aplicação do crivo de Eratóstenes:

No livro De Institutione Arithmética, sobre Teoria dos Números, do romano Boethius (500 d.C), mais conhecido como Boécio, aparece pela primeira vez o termo numerus primus.

Por volta de 1200 d.C. Fibonacci, no seu livro Liber Abacci, prefere a denominação primus a incomposto como era hábito dos árabes, consagrando, dessa maneira, o termo número primo por nós utilizada.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoEsc 
14/12/2008

quarta-feira, 10 de dezembro de 2008

A respeito do CPF

 

"Hoje em dia, os nomes já não possuem significado. O que importa são os números: o número da conta, da identidade, do passaporte. São eles que contam."

José Saramago

 

O Cadastro de Pessoas Físicas - CPF é um banco de dados gerenciado pela Secretaria da Receita do Brasil - RFB que armazena informais cadastrais de contribuintes obrigados à inscrição no CPF, ou de cidadãos que se inscreveram voluntariamente.

O CPF de um contribuinte é um número formado por 11 dígitos com o formato:

ABC.DEF.GHI-XY

Nesse número os dois últimos dígitos (XY) são chamados de dígitos verificadores e servem para validar o número de CPF como um todo. Cada um desses dígitos verificadores é obtido em duas etapas a partir de cálculos efetuados nos nove primeiros dígitos do número.

Para tornar mais clara a forma de obtenção de um número de CPF válido, vamos escolher aleatóriamente um número de 9 dígitos, por exemplo, o número 987.654.321, e determinar os dois dígitos verificadores que formarão com os demais um número de CPF válido.

1ª etapa - Cálculo do primeiro dígito verificador (X).

1. Cada um dos 9 dígitos que formam o número escolhido, contados da esquerda para a direita, deverá ser multiplicado, respectivamente, por 10, por 9, por 8, ... , por 2. Veja o quadro a seguir:

clip_image001[19]

2. Efetuamos a soma de todos os resultados obtidos no procedimento anterior:

clip_image001[21]

3. Vamos dividir a soma resultante (390) por 11, considerando somente a parte inteira do quociente, e observar apenas o resto da divisão.

4. Se esse resto for menor que 2, o primeiro dígito verificador será 0 (zero). Caso contrário, subtrai-se de 11 o valor obtido.

No exemplo em que estamos trabalhando o resto é 5, logo o primeiro dígito verificador é:

11 - 5 = 6 ou seja, X = 6

2ª etapa - Cálculo do segundo dígito verificador (Y).

Para calcular o segundo dígito verificador, procederemos de forma parecida com o que fizemos na 1ª etapa, acrescentando ao final dos 9 primeiros dígitos, o primeiro dígito verificador, no nosso exemplo, calculado como 6 (seis).

1. Montamos um quadro semelhante ao anterior, começando a multiplicação de cada dígito por 11, e não por 10, uma vez que temos um dígito a mais nesse número:

image

2. Efetuamos a soma de todos os resultados:

clip_image001[6]

3. Vamos dividir a soma resultante (467) por 11, considerando somente a parte inteira do quociente, e observar apenas o resto da divisão.

4. Se esse resto for menor que 2, o segundo dígito verificador será 0 (zero). Caso contrário, subtrai-se de 11 o valor obtido.

Esse resto, coincidentemente, volta a ser 5, logo o segundo dígito verificador é:

11 - 5 = 6, ou seja, Y = 6

Portanto, o número:

987.656.789-66

representa um número de CPF válido.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla 
10/12/2008

segunda-feira, 8 de dezembro de 2008

A multiplicação em gelosia

 

A adição e a multiplicação eram efetuadas na Índia de modo muito semelhante ao que usamos hoje. Usavam pequenas lousas com tinta removível branca ou uma tábua coberta de areia ou farinha. Entre os esquemas usados para a multiplicação havia um que é conhecido sob vários nomes: multiplicação em reticulado, multiplicação em gelosia, ou em célula ou em grade. A idéia atrás disso é fácil de perceber no exemplo a seguir, onde multiplicamos 635 por 28.

A multiplicação em gelosia

O multiplicando é colocado acima do reticulado e o multiplicador aparece à direita, como mostrado na figura 1.

Os produtos parciais são colocados nas células quadradas, como podemos ver na figura 2.

Os dígitos nas fileiras diagonais são somados e o produto 17 780 aparece à esquerda e em baixo, de acordo com a figura 3. O único “transporte” necessário na multiplicação em reticulado aparece nas adições finais ao longo das diagonais.

Não se sabe quando ou onde a multiplicação em gelosia apareceu, mas a Índia parece ser a fonte mais provável; foi usada lá pelo menos desde o século XII, de onde parece ter sido levada à China e à Arábia.

Dos árabes passou para a Itália nos séculos XIV e XV e lá o nome gelosia lhe foi associado por causa da semelhança com os gradeados colocados em frente às janelas em Veneza e em outros lugares.

 

Carl B. Boyer, História da Matemática, São Paulo, Edgard Blücher.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V6, Editora Moderna, 1996.

Nota: Esta postagem foi motivada por uma conversa que tive hoje (08/12/2008), na sala dos professores, com a amiga e dedicada colega de profissão, a professora Alzira Mizrahi Goldberg.

sábado, 6 de dezembro de 2008

Os poliedros de Platão

 

Platao Platão, cujo verdadeiro nome acredita-se ser Arístocles, nasceu em Atenas por volta do ano 428 a.C., foi discípulo de Sócrates com quem conviveu durante oito anos.

Em 387 a.C., fundou em Atenas uma escola chamada Academia, que ostentava em sua fachada: "Que aqui não entre quem não for geômetra". Em pouco tempo, esta escola tornou-se um dos maiores centros culturais da Grécia, tendo recebido políticos e filósofos como Aristóteles, Demóstenes, Eudoxo de Cnido e Esquines, entre outros.

Platão morreu por volta do ano 348 a.C., portanto com 80 anos, deixando como legado uma vasta obra conhecida como Diálogos, composta de 30 escritos.

Para Platão a Matemática é, antes de tudo,  a chave da compreensão do universo. Indagado certa vez sobre a atividade de Deus, respondeu:

“Ele geometriza eternamente”

Platão e a sua escola começaram a dar ênfase  à importância dos sólidos geométricos.

Poliedros são sólidos geométricos cuja superfície é formada por um número finito de faces, em que cada face é um polígono. Seus elementos principais são as faces, os vértices e as arestas. Um poliedro é chamado de regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes, e de todos os vértices parte um mesmo número de arestas. É possível demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares.

Um poliedro é denominado poliedro de Platão se, e somente se, forem verificadas as seguintes condições:

  • Todas as faces devem ser polígonos, regulares ou não, com o mesmo número de arestas.
  • Em todos os vértices deve concorrer o mesmo número de arestas.
  • Deve valer a relação de Euler: V - A + F = 2, na qual V, representa o número de vértices do poliedro, A, o número de arestas e F, o número de faces.

São cinco, e apenas cinco, os poliedros de Platão:

O Tetraedro

Características:

Vérices: 4

Arestas: 6

Faces: 4 triangulares

 

O Hexaedro

Características:

Vérices: 8

Arestas: 12

Faces: 6 quadrangulares

 

O Octaedro

Características:

Vérices: 6

Arestas: 12

Faces: 8 triangulares

 

O Dodecaedro

Características:

Vérices: 20

Arestas: 30

Faces: 12 pentagonais

 

O Icosaedro

Características:

Vérices: 12

Arestas: 30

Faces: 20 triangulares

 

Francisco Ismael Reis.

(06/12/2008)

sexta-feira, 5 de dezembro de 2008

O número e

 

Tão fascinante quanto o número p (3,141592 ...) é o número e, conhecido como número de Napier, ou constante de Neper, em homenagem a John Napier (1550 - 1617), matemático escocês, a quem se deve a descoberta dos logaritmos.

Embora tenha despertado o interesse de muitos matemáticos, foi Leonard Euler (1707 - 1783), um matemático suiço, quem mais se empenhou no estudo do número e, razão pela qual o mesmo também é conhecido por número de Euler.

O número e é um número irracional e aparece como resultado da operação:

image

que ocorre com grande freqüência em matemática financeira, e seu valor é:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 ...

Veja outras maneiras de representar o número e:

  • Como a soma de uma série infinita em que n! representa o fatorial de n.

image

  • Como a expansão de uma fração contínua.

Euler

 

Francisco Ismael Reis.

quinta-feira, 4 de dezembro de 2008

O Grande Hotel de Hilbert

 

Hilbert1912David Hilbert, matemático alemão, nasceu na cidade de Königsberg em 1862, sendo considerado um dos maiores matemáticos do século XX.

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemática, realizado em Paris,  apresentou uma lista de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje.

Hilbert, através de um exemplo, que recebeu o nome de "O Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert", nos leva a refetir sobre quantidades infinitas.

Suponhamos um hotel constituído de infinitos quartos, dispostos horizontalmente, um ao lado do outro.

Certo dia chega a esse hotel um novo hóspede e qual não é a sua decepção, quando na recepção se depara com uma placa informando não haver vagas.

O gerente do hotel, uma pessoa sempre muito prestativa, vendo o ar de tristeza do pretenso hóspede, pede para que o mesmo aguarde enquanto tenta resolver o problema.

Que fez então o gerente?

Pediu a todos os hóspedes para que se mudassem para os quartos de numeração imediatamente superior àquela que ocupavam. Assim sendo, o hóspede do quarto 1, mudou-se para o quarto 2, o do quarto 2, para o quarto 3, o do quarto 3, para o quarto 4, e assim sucessivamente. Dessa maneira, todos os hóspedes continuaram acomodados, e o novo hóspede pode, então, ocupar o quarto de número 1, que ficara vago.

No dia seguinte, um ônibus extremamente grande, com capacidade para infinitos passageiros e totalmente lotado, chega ao hotel com o propósito de hospedar todos esses passageiros. Ao entrar na recepção do hotel, o responsável pelo ônibus observa a placa informando não haver vagas. Desolado, vira-se e encaminha-se para a porta de saída do hotel. O gerente, percebendo que estava prestes a perder um número infinito de diárias, dirigiu-se ao responsável pelo ônibus e pediu-lhe que aguardasse por alguns instantes, enquanto tentava ajeitar a situação.

O que fez, desta vez, o gerente do hotel?

Pediu gentilmente a cada um dos hóspedes que ocupavam o hotel, que passassem a ocupar os quartos cujos números correspondessem ao dobro do número do quarto que ocopavam até àquele momento. Dessa forma, o hóspede que ocupava o quarto número 1, passou a ocupar o quarto número 2, o que ocupava o quarto número 2, passou a cupar o quarto número 4, o que ocupava o qurto número 3, passou a ocupar o quarto número 6, e assim sucessivamente. Dessa forma, todos os hóspedes que já estavam acomodados, continuaram acomodados, ocupando todos os quartos de numeração par. Por outro lado, os quartos de numeração ímpar, estavam agora vazios, podendo, dessa maneira, ser ocupados pelos passageiros do ônibus.

Através desse criativo exemplo, Hilbert nos mostra de forma muito clara e simples que:

  1. Infinito somado com um e, infinito subtraído de um, continua sendo infinito;
  2. Infinito infinito somado com um milhão e, infinito subtraído de um milhão, continua sendo infinito;
  3. O dobro de infinito, continua sendo infinito;
  4. A metade de infinito, continua sendo infinito.
     

Francisco Ismael Reis.

quarta-feira, 3 de dezembro de 2008

A caminho de St. Ives

 

Na coleção de histórias infantis Mamãe Gansa do século XVIII, encontramos os seguintes versos:

A caminho de St. Ives,
Encontrei um homem com sete esposas;
Cada esposa tinha sete sacos,
Cada saco tinha sete gatos,
Cada gato tinha sete gatinhos,
Gatinhos, gatos, sacos e esposas,
Quantos iam a caminho de St. Ives?

ives1

St. Ives é uma pequena cidade inglesa perto de Cambridge que deve o seu nome a Santo Ivo, bispo persa que morreu na localidade por volta de 600 d.C..

O Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes é um documento egípcio de cerca de 1650 a.C., onde um escriba de nome Ahmes detalha a solução de 87 problemas de aritmética e geometria. No problema 79 desse papiro encontramos:

Casas 7
Gatos 49
Ratos 343
Trigo 2401
Hekat [1] 16807
TOTAL 19607

 

Ahmes descreve aqui um enigma, no qual em cada uma das sete casas havia sete gatos, cada um dos quais comeu sete ratos, cada um dos quais teria comido sete espigas de trigo, cada uma das quais teria produzido sete hekats (medidas) de grão. A incógnita pedida para o problema é o total que, sendo a soma de todas as casas, gatos, ratos, trigo e hekats, não tem nenhum valor prático. Em 1202, o famoso matemático italiano Leonardo de Pisa (apelidado Fibonacci; viveu por volta de 1170 - 1240) publicou um livro intitulado Liber abaci (Livro do ábaco). Nele, propõe um problema que diz que "sete velhas estão viajando para Roma e cada uma tem sete mulas. Em cada mula, há sete sacos, em cada saco, há sete pães, em cada pão, há sete facas, e cada faca tem sete bainhas. Encontre o total de todos eles".[2]

A semelhança entre os versos A caminho de St. Ives ...  (séc. XVIII) e o que se encontra tanto no Papiro de Ahmes (1650 a.C.) quanto no Liber abaci (1202 d.C.) de Fibonacci é de fato impressionante, como notável é também que um problema que tem mais de 3500 anos sobreviva imutável na sua essência ao longo do tempo.

A propósito, com relação à pergunta: Quantos iam a caminho de St. Ives? , dependendo da interpretação, podem ser dadas duas respostas:

1ª. Um, que é o narrador da história. Os demais estavam vindo se St. Ives.

2ª. Nenhum, se considerarmos que o narrador não pertence ao grupo de gatinhos, gatos, sacos e esposas.

[1] Hekat ou heqat era uma antiga unidade de volume egipcia, usada para medir grãos.

[2] Mario Livio. A equação que ninguém conseguia resolver, Editora Record, 2008.

 

Francisco Ismael Reis.

A lenda de Sessa

 

Para provar a seus contemporâneos que um monarca, por mais poderoso que seja, não é nada sem seus súditos, um brâmane hindu chamado Sessa inventou um dia o jogo de xadrez.

Quando este jogo foi apresentado ao rei das Índias, este ficou tão maravilhado com a sua engenhosidade e a grande variedade de suas combinções que mandou chamar o brâmane para recompensá-lo pessoalmente:

– Quero recompensar-te por tua extraordinária invenção – disse o rei. – Escolhe tu mesmo a recompensa e a receberás imediatamente. Sou suficientemente rico para realizar teu desejo mais absurdo.

O sacerdote pediu que o rei lhe desse um pouco de tempo para pensar em sua resposta. E, no dia seguinte, espantou a todos com a incrível modéstia do seu pedido.

– Meu bom soberano – exclamou ele –, queria que me désseis a quantidade de trigo necessária para encher as 64 casas do meu tabuleiro. Um grão para a primeira, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta, dezesseis para a quinta, e assim por diante. Em resumo, queria que fosse colocado em cada caso o dobro de grãos que na casa precedente.

– Não acredito que sejas tão tolo a ponto de fazer um pedido tão modesto! – exclamou o rei, surpreso. – Poderias ofender-me com um pedido tão indigno de minha benevolência e tão desprezível diante do que eu poderia oferecer-te. Mas que seja! Se é este o teu desejo, meus servidores te trarão teu saco de trigo antes do cair da noite.

O brâmane sorriu e deixou o palácio.

À tarde, o soberano se lembrou da promessa e se informou com seu ministro para saber se o louco Sessa tinha tomado posse de sua magra recompensa.

– Soberano – disse o alto dignitário –, vossas ordens estão sendo executadas. Os matemáticos de vossa augusta corte estão determinando o número de grãos que devem ser dados ao sacerdote.

O semblante do reu se obscureceu. Ele não estava habituado a uma execução tão morosa de suas ordens.

À noite, antes de se deitar, o rei insistiu uma vez mais para saber se o brâmane já recebera seu saco.

– Ó rei – disse o ministro, hesitante –, os matemáticos ainda não chegaram ao fim de suas operações. Estão trabalhando sem descanso e esperam terminar sua tarefa antes do amanhecer.

É preciso notar que os cálculos se revelaram muito mais longos do que se pensara. Mas o rei não quis saber de nada, e ordenou que o problema fosse resolvido antes do seu despertar.

Mas no dia seguinte esta ordem ainda ficou sem efeito, o que incitou o monarca enfurecido a despedir os calculadores.

Nesse momento, um dos conselheiros do monarca interveio:

– Ó soberano, tendes razão de despedir estes calculadores incompetentes. Eles utilizavam métodos mouito antigos. Ainda estavam usando as possibilidades numéricas de seues dedos e as colunas sucessivas de uma tábua de contar. Disseram-me que os calculadores da província do noroeste do reino empregam já há algum tempo um método bem superior e mais rápido do o deles. Parece que é mais rápido e mais fácil de guardar. Operações que exigiriam de seus matemáticos vários dias de trabalho difícil representariam, para estes de quem vos falo, um trabalho de algumas horas!

Seguindo esses conselhos, foi chamado um desses engenhosos matemáticos, que, após ter resolvido o problema em tempo recorde, se apresentou ao rei para comunicar o resultado.

– A quantidade de trigo pedida  – disse num tom grave – é imensa.

Mas o rei retorquiu que, por maior que ela fosse, seus celeiros não seriam esvaziados.

Estupefato, ouviu então do sábio as seguintes palavras:

– Ó soberano, apesar de toda vossa potência e riqueza, não está em vosso poder oferecer uma tal quantidade de trigo. Ela está muito além do conhecimento e do uso de que dispomos dos números. Saibais que, mesmo se esvaziásseis todos os celeiros de vosso reino, o resultado obtido seria desprezível em comparação com esta enorme quantidade. Aliás, ela não pode ser encontrada nem no conjunto de todos os celeiros da Terra. Se desejais de fato oferecer esta recompensa, será preciso começar secando os rios, os lagos, os mares e os oceanos, depois derreter toda neve e as geleiras que recobrem as montanhas e certas regiões do mundo e transformar, enfim, tudo em campos de trigo. E só depois de ter semeado setenta e três vezes seguidas o total desta superfície podereis saldar esta pesada dívida. Mas, para uma quantidade desta ordem, seria preciso armazenar um volume de trigo de quase doze bilhões e três milhões de metros cúbicos e construir um celeiro de cinco metros de largura, dez de comprimento e ... treze milhões de quilômetros de profundidade (ou seja, uma altura igual a duas vezes a distância da Terra ao Sol)!

– Na verdade – acrescentou o sábio –, os grãos de trigo que este brâmane vos pediu são exatamente em número de

18.446.744.073.709.551.615

Depois, o calculador explicou ao soberano as características da numeração revolucionária dos sábios de sua região natal, ensinando-lhe em seguida os métodos de cálculo correspondentes, além de lhe fornecer nos seguintes termos a justificação de seus próprios cálculos:

– De acordo com o pedido do bramâne, seria preciso colocar:

1 grão de trigo na primeira casa;

2 grãos de trigo na segunda;

4 grãos (ou seja, 2 x 2) na terceira;

8 grãos (ou seja, 2 x 2 x 2) na quarta;

16 grãos (ou seja, 2 x 2 x 2 x 2) na quinta;

e assim por diante, multiplicando sempre por 2 de uma casa para a outra. Assim, na 64ª casa seria preciso colocar tantos grãos quantas unidades há no resultado de 63 multiplicações sucessivas por 2 (isto é,  263 grãos). A quantidade pedida é, conseqüentemente, igual à soma desses 64 números (ou seja: 1 + 2 + 22 + ... + 263 ).

– Se acrescentásseis um grão a este número – prosseguiu o calculador –, haveria 2 grãos na primeira, logo 2 vezes 2 grãos nas duas primeiras. Na terceira, haveria então (2 x 2 + 2 x 2) grãos de trigo, isto é, 2 vezes 2 vezes 2 ao todo. Na quarta, o total seria (2 x 2 x 2 + 2 x 2 x 2), isto é, 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 grãos. Procedendo deste modo, de um em um chegaríeis a um total igual ao resultado de 64 multiplicações sucessivas por 2 (ou seja, 264). Ora, este número é igual ao produto de 6 vezes o produto de 10 multiplicações sucessivas por 2, sendo ele mesmo multiplicado pelo número 16.

clip_image002

– E – concluiu ele –, como este número foi obtido acrescentando uma unidade à quantidade procurada, o total de grãos é então igual a ele próprio menos um grão. Se efetuardes as operações precedentes segundo o método que vos ensinei, podereis ficar certo, ó soberano, de que a quantidade de grãos pedida é exatamente de dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinqüenta e um mil, seiscentos e quinze!

– Decididamente – respondeu o rei, muito impressionado –, o jogo que este brâmane inventou é tão engenhoso quanto é sutil o seu pedido! Quanto a teus métodos de cálculo, sua simplicidade iguala a sua eficácia. Diga-me agora, sábio homem, o que é preciso fazer para pagar uma dívida tão incômoda?

O outro refletiu um instante e disse:

– Fazer este brâmane esperto cair na sua própria armadilha. Proponha-lhe vir contar pessoalmente, grão por grão, toda a quantidade de trigo que ele teve a audácia de pedir. Mesmo se ele trabalhasse sem descanso dia e noite, à razão de um grão por segundo, só recolheria um metro cúbico em seis meses, uns vinte metros cúbicos em dez anos e ... uma parte inteiramente insignificante pelo resto de sua vida! ...

 

Georges Ifrah, Os números - a história de uma grande invenção - Editora Globo, 1996.

Por que a circunferência tem 360º?

 

Dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais, chama-se grau à medida do arco correspondente a uma dessas 360 partes.

Essa é a forma clássica de apresentar a definição de grau, quer pela maioria dos autores de livros didáticos, quer em sala de aula pelos professores ao iniciarem o estudo de conteúdos que envolvam medidas angulares, como, por exemplo, trigonometria.
Tão logo é apresentada, uma pergunta vem à cabeça dos interessados pelo assunto:
Por que se escolheu dividir a circunferência em 360 partes iguais?
Não existem explicações absolutas que justifiquem os motivos que levaram a tal divisão, entretanto, pelo menos duas delas podem ser aceitas como as mais prováveis: 

  • Hiparco de Nicéia (190 a.C. e 125 a.C.) matemático e astronomo grego foi um dos grandes nomes da escola de Alexandria. É conhecido, hoje, como fundador da Astronomia e Pai da Trigonometria. HiparcoFortemente influenciado pela matemática dos babilônios, que utilizavam um sistema de numeração de base 60 (sistema sexagesimal), Hiparco acreditava ser essa a melhor base para fazer contagens. Os motivos se devam, talvez, ao fato de que 60 é um número que possui muitos divisores (1, 2, 3, 4, 5 , 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60) o que o torna possível de ser decomposto num produto de vários fatores, facilitando, dessa maneira, principalmente, as operações de divisão. Deve-se a ele, inspirado pelos trabalhos de Hipsicles (180 a.C.) a divisão da circunferência em 360 partes iguais, bem como a divisão do grau em 60 minutos e a do minuto em 60 segundos.
  • As antigas civilizações, cerca de 4000 a.C., acreditavam que o Sol girava em torno da Terra descrevendo uma órbita circular perfeita que durava 360 dias para se completar.Assim sendo, a cada dia o Sol percorria um arco correspondente a 1/360 da circunferência total. A esse arco associava-se um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades do arco. À medida desse ângulo foi dado o nome de grau e simbolizada por 1°.

Atualmente a unidade padrão de medida de ângulo plano adotada pelo Sistema Internacional de Unidades (SI) é o radiano (simbolizada por rad), definida como sendo o arco de circunferência cujo comprimento, quando retificado, vale o raio da circunferência que o contém.

 

Francisco Ismael Reis

domingo, 30 de novembro de 2008

O problema dos 35 camelos

 

Onde é narrada a singular aventura dos 35 camelos que deviam ser repartidos por três árabes. Beremiz Samir efetua uma divisão que parecia impossível, contentando plenamente os três querelantes.

 

Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu Camelos35companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista. Encontramos, perto de um antigo caravançarã (1) meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:

- Não pode ser !
- Isto é um roubo !
- Não aceito !

O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.

- Somos irmãos - esclareceu o mais velho - e recebemos, como herança, esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?

- É muito simples - atalhou o Homem que Calculava. - Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe!

Neste ponto, procurei intervir na questão:

- Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o camelo?
- Não te preocupes com o resultado, ó bagdali! - replicou-me em voz baixa Beremiz.
- Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.

Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar- lhe o meu belo jamal, (2) que, imediatamente, foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.

- Vou, meus amigos - disse ele, dirigindo-se aos três irmãos - fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora como vêem, em número de 36.

E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

- Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metadede 36 e, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão!

E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

- E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.

E disse, por fim, ao mais moço:

- E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber a nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!

E concluiu com a maior segurança e serenidade:

- Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir - partilha em que todos sairam lucrando - couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34. Dos 36 camelos, sobram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao bagdali, meu amigo e companheiro, outro toca por direito a  mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!

- Sois inteligente, ó Estrangeiro! - exclamou o mais velho dos três irmãos. - Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade!

E o astucioso Beremiz - o Homem que Calculava - tomou logo posse de um dos mais belos "jamales" do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me  pertencia:

- Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro, especialmente para mim!

E continuamos nossa jornada para Bagdá.

 

___________

(1) Caravançará - Refúgio construído pelo governo ou por pessoas piedosas à beira do caminho, para servir de abrigo aos peregrinos. Espécie de rancho de grandes dimensões em que se acolhiam as caravanas.

(2) Jamal - Uma das muitas denominações que os árabes dão ao camelo.

 

Malba Tahan. O Homem que calculava, Editora Record, 1985.

sábado, 29 de novembro de 2008

Pelas escadas acima ...

Vou fazer-te uma pergunta curiosa. Considera todos os números 1, 2, 3, 4, 5, ... Uns são ímpares, 1, 3, 5, 7, ... , e outros são pares, 2, 4, 6, 8, ... Pode perguntar-se: Há mais pares que ímpares, ou o contrário? A resposta é simples e imediata: ao 1, ímpar, segue-se o 2, par; ao ímpar seguinte, 3, segue-se o par seguinte, 4... A situação é clara. Podes pôr cada ímpar de braço dado com o par que se lhe segue. Assim, metade dos números são ímpares e metade pares. Há tantos ímpares como pares.
Continuemos. Considera agora, por um lado, todos os números: 1, 2, 3, 4, 5, ... e, por outro, todos os números pares: 2, 4, 6, 8, ... Perguntemos de novo: Quais são mais, os números todos ou os números pares?
A tua primeira ideia será com certeza mais ou menos assim : Ora essa! Nem todos os números são pares. Basta olhar para 1, 3, 5... Portanto, há mais números que números pares. Mas pensa um pouco no que fizeste atrás quando comparaste pares e ímpares. Puseste cada ímpar de braço dado com um único par e disseste: Há tantos pares como ímpares. Será que aqui não podes fazer algo parecido? Pensa um pouco...
Sim! Percebeste imediatamente. Cada número par pode dividir-se por 2 (claro!). Assim, obtemos os casais (ver figura abaixo).

clip_image001

Na fila de cima estão todos os números pares na de baixo todos os números, e as setas indicam qual é par de qual: os números pares são tantos como os números todos!
Que disparate é este? Provavelmente foi isto que Galileu pensou quando estas idéias, que constituem o que hoje chamamos paradoxo de Galileu, lhe passaram pela cabeça pela primeira vez. Euclides, Aristóteles e o senso comum de todos os tempos tinham dito sempre que o todo é maior que a parte. Os números pares obtêm-se pegando em todos os números e tirando os ímpares e, portanto, são parte de um todo. Mas nós pusemos agora mesmo cada número par de braço dado com um único número, e nenhum número ficou sem o seu parceiro par, o que torna claro que são tantos os números pares como os números todos.
Um paradoxo é uma situação mental que se nos depara quando, raciocinando de um modo claramente justificado, chegamos a uma conclusão, e, raciocinando de outro modo, que nos parece igualmente justificado com a mesma clareza, chegamos à conclusão oposta.
Um paradoxo não é uma desgraça, é uma grande oportunidade, pois indica que há algo de profundo por baixo de toda a questão que não compreendemos bem e que nos pode levar a mundos novos. Os colegas de Niels Bohr, um dos grandes físicos do nosso tempo, ouviram-no uma vez murmurar, no meio de um problema difícil: "Ótimo! Encontrámos um paradoxo. Agora é que podemos ter esperança de progredir". Galileu não foi mais longe nos seus pensamentos sobre o paradoxo dos números pares. Provavelmente tinha muitas outras coisas para pensar que lhe interessavam mais. Mais de dois séculos passaram até Georg Cantor se ocupar deste assunto, pegando no dilema de frente: "Há mais números naturais do que números pares... Há tantos números naturais como números pares... O todo é maior que a parte..." O que é que significa "haver mais"...? Quando afirmo que um monte é maior que uma sua parte, quero dizer que posso separar esta parte e ainda fica qualquer coisa no monte. Quando afirmo que há tantos pares como naturais, estou a dizer que os posso emparelhar um a um, e não fica nenhum número natural nem nenhum número par sem parceiro.
Há portanto duas maneiras diferentes de comparar.
Consideremos o conjunto de coisas A e o conjunto de coisas B. Há tantas coisas em A como em B quando se pode emparceirar cada coisa de A com uma coisa de B de forma que não fique nenhuma de A nem de B sem parceiro e, além disso, nenhuma coisa de A seja parceiro de duas coisas distintas de B, nem nenhuma coisa de B esteja emparceirada com coisas distintas de A. Isto admite uma expressão mais sofisticada e assustadora em termos de aplicações bijectivas e todas essas coisas, mas penso que a idéia que nos vai interessar já se entende com o que está escrito.
Quando cada coisa de A se pode emparceirar com uma única coisa de B, mas, faça-se como se fizer, em B ficam sempre coisas sem parceiro, é evidente que B tem mais coisas que A.
Esta maneira de comparar, enunciada por Cantor, é a que se presta a um desenvolvimento matemático adequado. Porquê? Porque integra um critério operativo bastante manejável: Há tantas coisas em A como em B quando podemos usar as coisas de B para etiquetar correctamente as de A, isto é, para colocar em cada coisa de A como etiqueta, uma coisa de B distinta sem que, ao fazê-lo, nos sobrem etiquetas (coisas de B).
Euclides, por seu lado, também tinha razão com aquilo de o todo A ser maior que a parte B, entendendo por isso que, se B é uma parte de A, é porque as coisas de B são coisas de A e, além disso, há outras de A que não são de B. Mas isto está tão perto de ser uma tautologia que dificilmente se poderia usar para alguma coisa de interessante em matemática.

Miguel de Guzmán. Aventuras Matemáticas, Pág. 65, Editora Gradiva, Lisboa - Portugal, 1990.

2 = 1? Por que não?

Após dois meses de intenso trabalho com minhas classes de 3º ano do EM, estudando números complexos, sua propriedades e operações, tanto na forma algébrica quanto na forma trigonométrica, apliquei uma prova em que uma das questões apresentava o seguinte enunciado:

No polinômio P(x) = x3 – x2 + 4x – 4  uma das raízes é 2i, onde i é a unidade imaginária  (i2 = –1). Encontre todas as raízes do polinômio.

Uma equação do terceiro grau de coeficientes reais, apresenta três raízes, sendo que, ou as três são reais, ou uma é real e duas são imaginária. Se 2i é uma de suas raízes imaginárias, então 2i, será outra. Falta, portanto, achar a terceira raiz, que é real.

O que me deixou intrigado, não foi o fato de determinado aluno não ter conseguido achar as raízes do polinômio, que era o que o exercício pedia.

O que me deixou intrigado foi que, após uma página inteira de exaustivos cálculos, esse aluno,  chegou à conclusão que:

  clip_image002[5]

Só faltou, por parte desse aluno, um comentário do tipo:

–"Professor, o senhor me enganou durante esse tempo todo com a história de que i2 = –1".

Ora, se esse aluno, conseguiu provar que a unidade imaginária vale 1/3, eu vou me atrever a provar que 2 = 1. Senão vejamos:

clip_image002[7]

Brilhante, não é mesmo?!

Francisco Ismael Reis.

sexta-feira, 28 de novembro de 2008

Curiosidades numéricas

Veja como são interessantes as operações efetuadas a seguir e seus resultados:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Observe agora essa simetria:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321

A necessidade de medir

Qual a distância que separa a sua casa de sua escola?clip_image002

Qual a altura daquele edifício?

Qual o seu peso?

Qual a quantidade de água contida naquela piscina?

Qual a área daquele terreno?

Perguntas como essas fazem-se presentes no dia-a-dia de todo ser humano desde as épocas mais remotas. Todas elas estão associadas à idéia de medir. Mas, o que significa medir? Medir é uma palavra de origem latina – metire – e significa, de acordo com o Médio Dicionário Aurélio, "Determinar ou verificar, tendo por base uma escala fixa, a extensão ou grandeza de algo". De maneira mais simplificada, medir é comparar duas grandezas de mesma espécie. Assim sendo, quando você vai efetuar uma medida você pode comparar comprimento com comprimento, massa com massa, volume com volume, capacidade com capacidade, mas não fará sentido você comparar, por exemplo, massa com volume.

Dessa maneira, se à primeira pergunta que fizemos – Qual a distância que separa a sua casa de sua escola? – você der como resposta 800 metros, o que você fez nada mais foi do que comparar a distância da sua casa até à sua escola, com uma outra, que é considerada como unidade padrão das medidas de comprimento, e concluir que uma cabe 800 vezes na outra. Portanto, medir é comparar quantas vezes a grandeza que é considerada como unidade padrão cabe naquela que se deseja determinar.

clip_image006 Em 1960, com o propósito de unificar e padronizar as diferentes unidades de medidas até então em uso, a comunidade cientifica internacional, se reuniu na França, para a Conferência Geral sobre Pesos e Medidas, e para cada grandeza a ser medida, definiu um símbolo e uma unidade padrão, que estão regulamentadas pelo assim chamado Sistema Internacional de Unidades (abrevia-se SI), que passou a ser adotado pela maioria dos países, inclusive pelo Brasil. Entre elas podemos destacar:

 

Grandeza Unidade padrão Símbolo
Comprimento metro m
Área metro quadrado m2
Volume metro cúbico m3
Capacidade litro L
Massa quilograma kg

 

Nem sempre, entretanto, as coisas foram assim tão bem organizadas como hoje. Os primeiros instrumentos de medição utilizados pelo homem eram bem rudimentares e surgiram da comparação que este fazia entre aquilo que queria medir e partes do seu próprio corpo. Foi assim que se originaram, comoclip_image002[6] instrumentos e como unidades de medida, o pé, o palmo, a polegada, a braça, a jarda, etc, algumas das quais em uso, ainda hoje, por alguns países, não exatamente da mesma maneira e com os mesmos valores com que surgiram. É evidente que a adoção dessas medidas como padrão trazia algumas conseqüências desagradáveis, visto que, existindo pés de tamanhos diferentes, existiam diferentes valores para uma mesma grandeza, o que gerava uma grande confusão. Dessa clip_image010maneira, a largura de uma avenida poderia ser de 300 pés, se os pés utilizados para se efetuar essa medida fossem os do Ivan, que por ser uma pessoa bem alta, tem os pés muito grandes. Essa mesma avenida, entretanto, teria 400 pés de largura, se os pés agora utilizados fossem os do Nicolau, que por ser bem mais baixo que o Ivan, tem pés bem menores e mais delicados.

 

Francisco Ismael Reis.

Matemática lírica

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

Millor Fernandes

domingo, 23 de novembro de 2008

O googol

Edward Kasner, matemático da Universidade da Columbia, em 1938, achou que a centésima potência do número 10, ou seja, o número 1 seguido de 100 zeros, merecia receber um nome especial. Conta-se que foi seu sobrinho de apenas oito anos, Milton Sirotta, quem deu a esse número o nome de googol.
Escrever o googol por extenso, exige muita paciência e atenção, para que na sua representação não se coloquem zeros a mais ou a menos. Veja sua representação:

1 googol = 10100


10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000


De magnitude muito maior que o googol, é o googolplex, também concebido por Edward Kasner e definido como dez elevado a um googol ou a unidade seguida de um googol de zeros, que por razões óbvias não representarei.

1 googolplex = 1010100


Acredita-se que o famoso site de buscas da Internet, o Google, pela enorme quantidade de informações que armazena e disponibiliza, tenha seu nome inspirado no googol.

Para saber mais acesse: http://pt.wikipedia.org/wiki/Googol

 

Francisco Ismael Reis.

sábado, 22 de novembro de 2008

Notação científica

Números que expressam quantidades muito grandes ou muito pequenas (próximas de zero), são freqüentes em diversas áreas de atuação humana.
Para um astrônomo, por exemplo, a tabela a seguir, onde se registra a distância média dos planetas do sistema solar ao Sol, é comum.


Para um químico ou um físico, os valores que representam a massa real das partículas subatômicas, anotados na tabela a seguir, fazem parte do dia-a-dia.


Trabalhar com esses números, na forma como foram apresentados nas duas tabelas anteriores, traz algumas dificuldades, entre elas o espaço que ocupam.
Com o propósito de facilitar essa tarefa, valores muito grandes ou muito pequenos são representados utilizando-se a notação científica, que consiste "no produto de um número compreendido entre 1 e 10, por uma potência de 10 adequada".
Assim, por exemplo, o número 217 pode ser escrito 2,17 x 100 ou 2,17 x 102 . Esta última é a representação em notação científica do número 217.
Já o número 0,023 pode ser escrito 2,3 : 100 ou 2,3 x(1/100) ou ainda como 2,3 x 10-2, que é a sua representação em notação científica.
Números muito grandes são representados com potências de 10, de expoente positivo, e o valor desse expoente indica a quantidade de casas que a vírgula avança para a direita quando se quer representar o número em notação convencional. Assim, no número 4,378 x 108, o expoente 8 indica que devemos caminhar com a vírgula 8 casas para a direita, a fim de encontrar a representação convencional do número. Veja:


Números muito pequenos são representados com potências de 10, de expoente negativo, e o valor desse expoente indica a quantidade de casas que a vírgula recua para a esquerda quando se quer a representação convencional desse número. Dessa maneira, para obeter a representação convencional do número 5,27 x 10–4, procedemos assim:


Veja como ficam as duas tabelas anteriores, com valores representados em notação científica:




As calculadoras científicas, dentre as diversas características que possuem, apresentam a tecla EXP, cuja finalidade é trabalhar com números escritos em notação científica.
O visor de alguma dessas calculadoras apresenta os números em notação científica, conforme mostram os desenhos a seguir.


Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V8, Editora Moderna, 1996.

Porcentagem

Harlen E. Amundson

A porcentagem passou a ser utilizada no final do século XV em questões comerciais, como cálculo de juros, lucros e prejuízos e impostos. A idéia, porém, teve origem muito antes. Quando o imperador romano Augusto estabeleceu um imposto sobre todas as mercadorias em hasta pública, centesima rerum venalium, a taxa era 1/100. Outras taxas romanas eram de 1/20 sobre cada escravo libertado e 1/25 sobre cada escravo vendido. Sem reconhecer porcentagens como tal, os romanos usavam frações facilmente redutíveis a centésimos.

Na Idade Média, na medida em que unidades monetárias maiores entraram em uso, 100 tornou-se uma base comum para a computação. Manuscritos italianos do século XV continham expressões como "20 p 100", "x p cento" e "vi p co" para indicar 20 por cento, 10 por cento e 6 por cento. Quando apareceram aritméticas comerciais, perto do final desse mesmo século, o uso da porcentagem já estava bem estabelecido. Por exemplo, Giorgio Chiariano (1481) usava "xx . per . c" para representar 20 por cento e "viii in x perceto" para 8 a 10 por cento. Durante os séculos XVI e XVII, usava-se porcentagem amplamente para calcular lucros, prejuízos e lucros.

O sinal de porcentagem, %, provavelmente proveio de um símbolo introduzido num manuscrito italiano anônimo de 1425. Em vez de "per 100" ou "P cento", que eram comuns naquele tempo, o autor usou "P ". Por volta de 1650 o torna-se , sendo "per ", usado com freqüência. Finalmente o "per" foi suprimido, permanecendo ou %.[1]

[1] Tópicos da História da Matemática - Para uso em sala de aula. v. 2, Computação, Harold T. Davis, Atual, Cápsula 15, págs. 64 e 65

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V6, Editora Moderna, 1996.


Como surgiram o + e o – ?

Existem algumas lendas que ilustram de forma bem interessante o surgimento dos sinais + e – . Vamos citar duas delas, por sinal, bem parecidas.

A primeira:

Havia, já lá se vão muitos anos, numa cidade da Alemanha, um homem que negociava com vinhos. Recebia esse homem, diariamente, vários tonéis de vinho. Os tonéis que chegavam do fabricante eram cuidadosamente pesados. Se o tonel continha mais vinho do que devia, o homem marcava-o com um sinal em forma de cruz: (+). Esse sinal indicava "mais", isto é, "mais vinho", um "excesso". Se ao tonel parecia faltar uma certa porção de vinho, o homem assinalava-o com um pequeno traço (–). Tal sinal indicava "menos", isto é, "menos vinho", uma "falta". Desses dois sinais, usados outrora pelo mercador de vinho (diz a lenda), surgiram os símbolos + e – empregados hoje no mundo inteiro, pelos matemáticos e calculistas.[1]

A segunda:

Era uma vez um porto ...

As caixas no armazém do cais deviam conter certo número de peças e um funcionário as conferia. Por exemplo: quando faltavam 2 peças na caixa, o funcionário nela escrevia: "minus 2". Quando havia excesso de 3 peças, ele escrevia: "plus 3" (em latim, "minus" é menos e "plus" significa "mais").

Com o tempo, "minus" teria sido abreviado para m. Com a correria do dia-a-dia, o m teria descambado para e, finalmente, para -. Assim, –3 indicava a falta de 3 peças.

Da mesma forma, plus teria se transformado em p, depois em e, finalmente, em +. Assim, + 5 indicava a presença de 5 peças a mais.[2]



[1] Malba Tahan - As Maravilhas da Matemática - pág. 29-30 - Edições Bloch - 1973.

[2] Imenes - Jakubo - Lellis - Números Negativos - pág. 16-17 - Ed. Atual - 1992.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V6, Editora Moderna, 1996.

Pitágoras e os números irracionais

Pitágoras, filósofo e matemático grego, natural da ilha de Samos, acredita-se ter vivido entre os anos 580 a.C. e 500 a.C. Entre os seus feitos está o da fundação de uma escola em Crotona, na Magna Grécia. Os membros dessa escola, chamados de pitagóricos acreditavam na existência de uma harmonia básica na natureza que podia ser expressa por meio das relações entre os números inteiros.

Pitágoras, estudando os triângulos retângulos, descobriu a relação que existe entre as medidas dos lados desse tipo de triângulo. Essa relação estabelece que "em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa" e é conhecida até hoje como teorema de Pitágoras, constituindo-se num dos principais teoremas da geometria plana.


Chamando-se a a medida da hipotenusa, b e c as medidas dos catetos, o teorema de pitágoras é traduzida por:







Assim sendo, num triângulo retângulo em que os catetos medem 3 cm e 4 cm, é fácil determinar a medida x da hipotenusa, pois:



Com base na relação de Pitágoras, é possível fazer a representação geométrica de alguns números irracionais.

Suponhamos um triângulo retângulo de catetos medindo uma unidade de comprimento cada um. A medida x da hipotenusa será:


e é um número irracional.
Na reta numerada a localização de pode ser feita conforme mostra a figura a seguir:
Construímos um triângulo retângulo OAC cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Como vimos, a hipotenusa OA desse triângulo medirá unidades de comprimento. Com o auxílio de um compasso, transportamos para a reta numerada a medida do comprimento da hipotenusa. Obtemos o segmento OB de medida , ficando dessa maneira determinada a localização do número na reta numerada.
De forma semelhante, podemos obter a localização de outros números irracionais na reta numerada.


Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V7, Editora Moderna, 1996.