quinta-feira, 9 de setembro de 2010

Medidas agrárias

 

Alqueire

As medidas de superfície estão presentes em nosso cotidiano, principalmente em situações relacionadas à compra de um terreno, aquisição de uma casa ou apartamento, pintura de paredes, ladrilhamento de pisos, entre outras situações. O metro quadrado (m²) é a medida mais utilizada na medição de áreas, mas em algumas ocasiões, outras unidades de medidas como o km² são utilizadas. Por exemplo, na previsão da área de uma reserva florestal ou na medição de um lago de uma usina hidrelétrica, o km² é considerado uma medida mais usual, pois expressa superfícies de grandes extensões.
Mas vamos compreender o que significa m² e km².
São medidas que expressam qualquer superfície regular ou irregular, na forma de uma região quadrada. Se dizemos que uma área possui medida igual a 200 m², estamos ressaltando que sua superfície é composta de 200 quadrados, com lados medindo 1 metro. No caso de áreas com medidas expressas em km², como por exemplo, 100 km², estamos nos referindo a uma região que comporta 100 quadrados, com lados medindo 1 km.
No Brasil, além das unidades usuais referentes ao m² e ao km², as pessoas utilizam algumas medidas denominadas agrárias. Entre os proprietários de terras e corretores, as medidas utilizadas cotidianamente são as seguintes: are (a), hectare (ha) e o alqueire. Entre as medidas agrárias, o are é considerado a unidade de medida fundamental, correspondendo a uma superfície de 100 m², mas atualmente ele é pouco utilizado.
O hectare  é ultimamente a medida mais empregada em área de fazendas, chácaras, sítios, regiões de plantações e loteamentos rurais, equivalendo a uma região de 10 000 m². O alqueire foi uma das medidas agrárias mais utilizadas pelos fazendeiros, mas atualmente ele é considerado uma medição imprópria, em virtude das diferentes quantidades de m² utilizados pelos estados brasileiros.
O alqueire paulista é equivalente a 24 200 m², o mineiro e o goiano correspondem a 48 400 m², enquanto que o alqueire da região Norte é igual a 27 225 m². Essa inconsistência de medidas entre os estados e a deficiência organizacional quanto à equiparação da unidade alqueire, tem contribuído para que os proprietários de terras abandonem esta unidade de medição, prevalecendo uma medida de padrão nacional, como o hectare.

 

A tabela abaixo pode ser usada para a equivalência entre algumas das unidades.

Área
Multiplique o n° de
are
acres
acres
hectares
alqueires paulistas
alqueires mineiros
alqueires baianos
alqueires do norte
Por
100
4,047
0,4047
10000
2,42
4,84
9,68
2,72
Para obter o equivalente em
metros quadrados
metros quadrados
hectares
metros quadrados
hectares
hectares
hectares
hectares

 

 

 

 

 

 

 

 

09/09/2010.

terça-feira, 7 de setembro de 2010

Voo dos pássaros

 

Voar em bando e de modo organizado é uma estratégia das aves migratórias para gastar menos energia e cobrir distâncias maiores. Esses voos são comuns entre pássaros grandes, como gansos e cisnes. A economia de energia é tanta que , ao final da jornada, os pássaros chegam até 70% mais longe do que se voassem desordenados. O posicionamento também ajuda para que as aves se vigiem, já que nenhuma sai da vista da outra.

 

Força VFormação1

Entre as aves migratórias, o alinhamento mais comum é em forma de V, e o número de aves envolvidas, assim como o tamanho de cada “asa” da formação, varia. Quanto maior a velocidade do vento ou do próprio pelotão, mais agudo é o ângulo de formação – entre os gansos-do-canadá, a abertura vai de 27° a 44°.

 

 

 

 

 

Formação2Formação alternativa

A formação em arco é o jeito mais democrático de voar em bando, já que as aves economizam praticamente a mesma energia, seja qual for a posição ocupada. O grupo, porém, não economiza mais. Pelo contrário, ao fim do dia as aves que voam em V percorrem maiores distâncias com menos esforço, graças ao revezamento.

 

 

 

Revista Mundo Estranho – Edição 102 – Agosto 2010.

segunda-feira, 6 de setembro de 2010

O Quilate

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O quilate tanto é uma medida de massa como uma medida de composição em ligas de ouro. A palavra vem do grego keratio, significando uma semente que era usada como unidade de peso na antiga Grécia.

Quando é usado para pedras preciosas, como o diamante, um quilate representa uma massa igual a duzentos miligramas (0,2 gramas) – quilate métrico.

Aplicado ao ouro, entretanto, o quilate é uma medida de pureza do metal, e não de massa. Um quilate de ouro é o total de sua massa dividido por 24.

A pureza do ouro é expressa pelo número de partes de ouro que compõem a barra, pepita ou jóia. O ouro de um objeto com 16 partes de ouro e 8 de outro metal é de 16 quilates. O ouro puro tem 24 quilates.

Ex.:

  • 16 quilates = 16/24 = 67% de ouro (também chamado de ouro 670)
  • 18 quilates = 18/24 = 75% de ouro (também chamado de ouro 750)
  • 19,2 quilates = 19,2/24 = 80% de ouro (também chamado de ouro 800 ou Ouro Português)

Desta forma, o ouro 18 quilates tem 75% de ouro, e o restante são ligas adicionadas para garantir maior durabilidade e brilho à jóia. Existe também o ouro 14 quilates, que possui 58% do ouro puro.

Os elementos de liga geralmente adicionados ao ouro são o cobre e a prata, resultando em um ouro com coloração amarela. Existe também o ouro branco, que é feito além do ouro, outros metais "brancos", como prata, paládio ou níquel, e no final do processo, a liga é submetida à um banho de ródio. Finalmente, o ouro vermelho é aquele formado também por cobre, prata e  zinco.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla

06/09/2010.

A maldição do professor

 

bruxa2Conta a lenda que, quando Deus liberou o conhecimento sobre  como ensinar os homens,  determinou que aquele "saber" ficaria restrito a um grupo muito selecionado de sábios. Mas, neste pequeno grupo, onde todos se achavam "semi-deuses", alguém traiu as determinações divinas...
Aí aconteceu o pior!!!!!!........
Deus, bravo com a traição, resolveu fazer valer alguns mandamentos:

  • 1º - Não terás vida pessoal, familiar ou sentimental.
  • 2º - Não verás teu filho crescer.
  • 3º - Não terás feriado, fins de semana ou qualquer outro tipo de folga.
  • 4º - Terás gastrite, se tiveres sorte. Se for como os demais terás úlcera.
  • 5º - A pressa será teu único amigo e as tuas refeições principais serão os lanches, as pizzas e o china in box.
  • 6º - Teus cabelos ficarão brancos antes do tempo, isso se te sobrarem cabelos.
  • 7º - Tua sanidade mental será posta em cheque antes que completes 5 anos de trabalho.
  • 8º - Dormir será considerado período de folga, logo, não dormirás.
  • 9º - Trabalho será teu assunto preferido, talvez o único.
  • 10º - As pessoas serão divididas em 2 tipos: as que ensinam e as que não entendem. ( a melhor!!!! )
  • 11º - A máquina de café será a tua melhor colega de trabalho, porém, a cafeína não te fará mais efeito.
  • 12º - Happy Hours serão excelentes oportunidades de ter algum tipo de contato com outras pessoas loucas como você.
  • 13º - Terás sonhos, com cronograma, planejamento, provas,  fichas de alunos, provas substitutivas e não raro, resolverás problemas de trabalho neste período de sono.
  • 14º - Exibirás olheiras como troféu de guerra.
  • 15º - E, o pior........ inexplicavelmente gostarás de tudo isso...

 

 

 

Desconheço a autoria.

 

06/09/2010.

domingo, 5 de setembro de 2010

Você sabia – 06 …

 

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla

05/09/2010.

sexta-feira, 19 de fevereiro de 2010

A Estrela de David

estreladavid A expressão Maguên David, em hebraico, significa “Escudo de David”. É um símbolo puramente geométrico formado por dois triângulos equiláteros, concêntricos, com os lados respectivamente paralelos e completando um entrelaçado hexagonal (de seis pontas) denominado hexagrama.

Muitos autores erradamente  definem o hexagrama como hexágono estrelado com seis lados. O hexagrama pode ser uma estrela “de seis pontas” , mas não poderá ser, de forma alguma, um polígono estrelado. No caso do hexagrama inscrito num círculo, os seis vértices dos triângulos básicos estarão, é claro, sobre a circunferência.

A origem desse símbolo é totalmente ignorada e deve ter suas raízes na Antiguidade (4000 a.C.) pois o hexagrama aparece entre os primitivos sacerdotes egípcios e já era conhecido dos cabalistas hindus. Assegura Blavatsky 1 (Doutrine Secrèt) que o hexagrama, na Índia, era o símbolo de Vichnu 2, segunda pessoa da trindade indiana. O Dr. R. Allendy 3, em seu livro Le Symbolisme des Nombres, procura provar que existe uma certa relação entre o hexagrama e o número seis, pois o Eterno criou o mundo em seis dias, sendo seis o primeiros número perfeito da série natural. O Templo de Salomão tinha seis degraus e eram, em número de seis, as asas de um serafim (Is., 6,2).

Encontramos o hexagrama nas igrejas católicas da Idade Média. Nos antigos templos maçônicos encontramos ainda o hexagrama, adotado (dentro das Ciências Ocultas) para representar a Justiça. Observa o Dr. Allendy (o. cit.) que o hexagrama não pode ser obtido por um traçado contínuo (sem levantar a caneta do papel) e, por isso, simboliza duas ações antagônicas. Para os alquimistas, o triângulo superior (tendo um dos vértices para cima) representava o “Figo”, pois a chamas tendem a subir; o outro triângulo (com um dos vértices para baixo) era a “Água”, pois a água tende sempre a descer.

Não sabemos em que época o hexagrama tomou o nome de “Escudo de David” e passou a ser o símbolo do judaísmo.

Fora do judaísmo, entre os árabes muçulmanos, o hexagrama é denominado “Selo de Salomão” e é citado até nos contos das Mil e Uma Noites (História do Pescador e o Gênio).

No Folclore Brasileiro é conhecido como “Signo de Salomão” e é empregado como contrafeitiço em certas mágicas relacionadas com o mito lobisomem.

No livro O Esoterismo de Umbanda, de Osório Cruz, encontramos certas indicações sobre o Maguên David:

O Signo de Salomão é formado de dois triângulos de lados iguais invertidos, encaixados um no outro. É o símbolo da União do Espírito e da Matemática e também da evolução.

Este símbolo possui grande poder mágico se for riscado por uma pessoa muito evoluída e conforme certos ritos que pertencem aos africanos e hindus.

Atualmente o Maguên David é um símbolo judaico universalmente reconhecido. Figura, com destaque, isolado na faixa branca central da bandeira nacional do Estado de Israel, e aparece nas sinagogas, nos selos de Israel, nas sepulturas israelitas, em seus emblemas, jóias, objetos artísticos, capas de livros etc.

 

Tahan, Malba. As Maravilhasda Matemática –  Ed. Bloch.

 

 

__________

1. Elena Petrovna Blavatskaya - escritora, filósofa e teóloga da Rússia, responsável pela sistematização da moderna Teosofia e co-fundadora da Sociedade Teosófica.

2. Na mitologia hindu, Vixnu , juntamente com Shiva e Brahma formam a trimúrti, a trindade hindu, na qual Vixnu é o deus responsável pela manutenção do universo.

3. René Allendy, (1889-1942) médico, homeopata e psicanalista francês.

domingo, 14 de fevereiro de 2010

Azulejos que ensinam

Azulejos que ensinam foi o tema de uma exposição de azulejos apresentada na Universidade de Coimbra em 2007.

Os Elementos” de Euclides foram transpostos para um conjunto de azulejos, único no mundo, que ilustram os teoremas geométricos daquele sábio grego e foram um instrumento pedagógico do ensino da Matemática pelos Jesuítas. Acredita-se que as representações reproduzidas nos azulejos em questão tenham saído da versão de André Tacquet, jesuíta e matemático belga, publicada pela primeira vez em 1654.

Pois bem, um amigo meu, Renato H. Pinto, em visita a Portugal, encontrou um catálogo com  reproduções na forma de cartão postal de seis dessas relíquias com o qual me presenteou e que, neste momento, compartilho com todos aqueles que, como eu, são apaixonados pela Geometria.

Azulejos0001

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729
(1ª ed: Antuérpia, 1654)
Livro I, Corolário 13 da Proposição 32:
Daqui se tira  um modo fácil  de dividir em três partes iguais um ângulo recto BAC.
(a trissecção do ângulo reto – comentário de André Tacquet).
Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro
[Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

Azulejos0002

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729
(1ª ed: Antuérpia, 1654)
Livro III, Proposição 1:
Dado um círculo achar-lhe o centro.
Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro
[Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

Azulejos0003

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729
(1ª ed: Antuérpia, 1654)
Livro I, Proposição 29 (Proposição 28 nas edições actuais):
Se a recta GO, cortando duas rectas AB e CF, fizer o ângulo externo GLB, igual ao interno para a mesma parte LOF, ou também os dois internos para a mesma parte BLO e LOF iguais a dois rectos, a duas rectas cortadas serão paralelas.
Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro
[Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

Azulejos0004

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729
(1ª ed: Antuérpia, 1654)
Livro I, Proposição 44:
Sobre a recta OS construir um paralelogramo igual [em área] a um triângulo dado V, o qual [paralelogramo] tenha um ângulo igual a outro dado X.
Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro
[Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

Azulejos0005

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729
(1ª ed: Antuérpia, 1654)
Teoremas escolhidos de Arquimedes: Proposições 40, 41, 43, 44 (Proposições originais de André Tacquet, análogas às de Arquimedes para a esfera e o cilindro)  
Proposição 4o:
A superfície da esfera está para toda superfície do cone equilátero circunscrito assim como 4 está para 9.
Proposição 41:
A superfície total do cone equilátero circunscrito a uma esfera é quadrupla da superfície total de um outro cone semelhante inscrito na mesma esfera.
Proposição 43:
O cone equilátero circunscrito a uma esfera está [em volume] para o cone semelhante inscrito na mesma esfera assim como 8 está para 1.
Proposição 44:
A esfera está para o cone equilátero circunscrito, tanto em volume como na superfície total assim como 4 está para 9.
Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro
[Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

Azulejos0006

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729
(1ª ed: Antuérpia, 1654)
Teoremas escolhidos de Arquimedes: Proposição 20.
Proposição 20: 
As superfícies cônicas inscritas na esfera fenecem na esfera.
Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro
[Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

 

Para mais esclarecimentos, consulte, neste blog, Os postulados de Euclides.

Também poderá ser de seu interesse consultar a versão online da edição de Oliver Byrne de “Os Elementos” de Euclides (1847)
(http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/byrne.html)

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla

14/02/2010.

sábado, 30 de janeiro de 2010

Dez mandamentos para professores

 

dez_mandamentos1. Tenha interesse pela sua matéria.

2. Conheça a sua matéria.

3. Procure ler as expressões faciais dos seus alunos; procure descobrir as suas expectativas e as suas dificuldades; ponha-se no lugar deles.

4. Compreenda que a melhor maneira de aprender alguma coisa é descobri-la você mesmo.

5. Dê aos seus alunos não apenas informação, mas know-how, atitudes mentais, o hábito de trabalho metódico.

6. Faça-os aprender a dar palpites.

7. Faça-os aprender a demonstrar.

8. Procure encontrar, no problema que está abordando, aspectos que poderão ser úteis nos problemas que virão - procure descobrir o modelo geral que está por trás da presente situação concreta.

9. Não desvende o segredo de uma vez - deixe os alunos darem palpites antes - deixe-os descobrir por si próprios, na medida do possível.

10. Sugira, não os faça engolir à força.

    George Pólya.

    George Pólya

     

    polyaGeorge Pólya nasceu a 13 de Dezembro de 1887 em Budapeste (Hungria) de família judaica de origem polaca.

    Foi um ótimo estudante no ensino secundário apesar da escola que frequentava valorizar muito a aprendizagem com base na memória, prática que Pólya considerava monótona e sem utilidade.

    Licenciou-se em 1905 tendo sido considerado como um dos quatro melhores alunos do seu ano o que lhe permitiu ganhar uma bolsa de estudo na Universidade de Budapeste. Aí começou por estudar Direito, tal como seu pai. No entanto, achou o curso aborrecido e passou para o curso de línguas e literaturas. Interessou-se depois por Latim, Física, Filosofia e finalmente por Matemática tendo, em 1912, concluído o seu doutoramento.

    No Outono de 1913 foi para Göttingen onde conheceu Hilbert. Ainda durante este ano, publicou um dos seus maiores resultados, a solução do problema do passeio aleatório. Em 1913 foi para Paris trabalhar no seu pós-doutoramento.

    Em 1914 assumiu um cargo na Universidade de Zurique onde conheceu Hurwitz. Nesse mesmo ano, foi chamado pelo seu país para a guerra mas recusou-se a prestar serviço militar. O medo de ser preso por não ter respondido à chamada fez com que apenas regressasse à Hungria depois de ter terminado a Segunda Guerra Mundial. Em Zurique conheceu a sua futura esposa Stella Weber. Casaram em 1918 permanecendo juntos até à morte de Pólya.

    Em 1924, trabalhou com Hardy and Littlewood em  Oxford e Cambridge. Publicou a classificação em dezessete grupos dos planos de simetria, resultado que, mais tarde, viria a inspirar Escher.  Em 1925, juntamente com Szegö, publicou:  "Aufgaben und lehrsätze aus der Analysis" e "Die grundlehren der mathematischen wissenschaften".

    Em 1940, com receio de uma possível invasão alemã da Suíça, decidiu ir para os Estados Unidos tendo aceite, em 1942, um cargo de professor na Universidade de Stanford onde permaneceu até à sua retirada do ensino, em 1953.

    Em 1945 publicou um dos seus livros mais famosos: “How to Solve it" de que aqui se apresenta uma tradução comentada. Seguiram-se "Isoperimetric Inequalities im Mathematical Physics" (1951); “Matemathics and Plausible Reasoning” (1954), “Mathematical Discovery” (1962-64) de que aqui se apresenta a tradução do capítulo XIV.

    George Pólya faleceu a 7 de Setembro de 1985.

    sábado, 23 de janeiro de 2010

    Índice de massa corporal – IMC

    O Índice de Massa Corporal (IMC) é uma medida internacional usada para calcular se uma pessoa está abaixo, acima ou no peso ideal.

    Esse procedimento foi desenvolvido por Lambert Adolphe Jacques Quételet (Gante, 7 de fevereiro de 1796 — Bruxelas, 17 de fevereiro de 1874), matemático, astrônomo, estatístico e sociólogo belga.

    O IMC é um cálculo que leva em consideração tanto o peso corporal como a altura da pessoa, e pode ser calculado em polegadas e libras (como nos EUA), ou em metros e quilogramas (no Brasil e outros países que usam o sistema métrico).

    O IMC é determinado pela divisão da massa do indivíduo pelo quadrado se sua altura, o que nos leva à seguinte fórmula:

    clip_image002

    O resultado obtido através dessa fórmula é comparado com os valores da tabela a seguir, homologada pela OMS – Organização Mundial de Saúde –  que indica o grau de obesidade do indivíduo.

    IMC Classificação
    < 18,5 Magreza
    18,5 – 24,9 Saudável
    25,0 – 29,9 Sobrepeso
    30,0 – 34,9 Obesidade Grau I
    35,0 – 39,9 Obesidade Grau II (severa)
    ≥ 40,0 Obesidade Grau III (mórbida)

     

     

     

     

     

     

    A calculadora apresentada abaixo, irá ajudá-lo a determinar o seu IMC.

    Calculadora de IMC
    Digite o seu peso em kg:  

    Digite a sua altura em cm:  

    Seu IMC

    Francisco Ismael Reis.

    AssinaturaFundoCla

    23/01/2010.

    sexta-feira, 22 de janeiro de 2010

    Matemáticos por natureza

     

    Li, há algum tempo atrás, O instinto matemático (Ed. Record), de Keith Devlin. Nele, o autor nos mostra, de maneira bastante didática,  como podemos aprimorar nosso conhecimento matemático inato e defende a ideia que existem dois tipos de matemática: a natural e a simbólica. A natural é intrínseca aos animais ao passo que a simbólica é exclusiva dos homens. Navegando pela internet, encontrei, acidentalmente, um texto de Michelson Borges, que me agradou sobremaneira e que sintetiza muito bem o conteúdo do livro. É esse texto que transcrevo a seguir:

    Abelhas Deu na Veja (18/02): "Em o Instinto Matemático (Ed. Record), Keith Devlin, professor de matemática da Universidade Stanford, apresenta pesquisas recentes sobre morcegos, aves, lagostas e até formigas, com o intuito de provar que eles são matemáticos naturais. As migrações sazonais de andorinhas e borboletas-monarcas, por exemplo, revelam uma prodigiosa capacidade de orientação, comparável aos mais recentes sistemas de navegação GPS - os quais incorporam uma boa dose de matemática avançada. (...)
    "Um dos exemplos mais expressivos é o do cachorro que brinca na praia. Se seu dono arremessar a bola em diagonal em direção ao mar, o cão geralmente vai correr sobre a areia, em uma linha reta ao longo da beira, para só depois entrar na água, em diagonal. À primeira vista, não parece uma estratégia inteligente. Todos nós aprendemos que a linha reta é o caminho mais curto entre dois pontos - por que não correr direto para a bola? Acontece que o cachorro é um bicho terrestre - sua velocidade de nado é consideravelmente inferior à de corrida. A combinação que ele faz entre as duas formas de locomoção representa o modo mais rápido de chegar à bola. Para traçar o mesmo trajeto ideal, uma pessoa teria de recorrer ao cálculo diferencial e integral..."
    A matéria menciona também a fantástica engenharia das abelhas, que conseguem armazenar a maior quantidade de mel usando a menor quantidade de cera. "A geometria das abelhas intrigou matemáticos por séculos. Só em 1999 houve uma comprovação definitiva de que a forma do hexágono é a mais eficiente para armazenar mel."
    Qual a explicação para todos esses comportamentos complexos e inatos? Alguma dúvida de qual seja? Ei-la, segundo Veja: "Ao longo da evolução, seu [do cachorro] cérebro foi equipado para realizar instintivamente operações que, expressas em matemática formal, parecem complicadas." Parecem, não, são! Quando a constatação de design ou projeto é óbvia, usam-se recursos linguísticos para tentar minimizar a complexidade.
    Mais uma vez a teoria-explica-tudo é tirada da manga para fornecer "resposta" a um comportamento que envolve informação armazenada no cérebro e características e atitudes que deveriam existir desde o princípio para que o animal pudesse deixar descendentes. Outro exemplo: as fêmeas de mamíferos como os cães lambem a placenta dos recém-nascidos tão-logo eles vêm ao mundo. Se elas não fizessem isso, eles morreriam. Quem as ensinou a agir assim? E mais: Como animais que vivem em colônia adquiriram seus complexos instintos, se dependem deles para sobreviver e eles tinham que funcionar assim desde sempre? Como as aves migratórias conseguem calcular o trajeto e a quantidade exata de energia que devem acumular para chegar ao local certo e fugir do frio? Se esses comportamentos e instintos não funcionassem bem desde a primeira vez, as primeiras migrações seriam um fracasso e levariam muitas espécies à extinção.
    Michelson Borges

    Sobre o autor

    MICHELSON BORGES

    Jornalista (formado pela UFSC) e editor da Casa Publicadora Brasileira. É autor dos livros Nos Bastidores da Mídia, Por Que Creio, A História da Vida, entre outros. Mestrando em Teologia pelo Unasp, mantém o blog www.criacionismo.com.br

    Francisco Ismael Reis.

    AssinaturaFundoCla

    22/01/2010.

    quinta-feira, 21 de janeiro de 2010

    Você sabia – 05 …

     

     

    Francisco Ismael Reis.

    AssinaturaFundoCla

    21/01/2010.

    quarta-feira, 20 de janeiro de 2010

    Calculando a raiz quadrada

     

    Veja no vídeo a seguir um processo prático e rápido para a determinação da raiz quadrada exata de um número.

    segunda-feira, 18 de janeiro de 2010

    História e dimensões da bandeira nacional

     

    A maioria dos brasileiros desconhece que a fabricação da Bandeira Nacional obedece a critérios estabelecidos na legislação brasileira e são padrões definidos para todas as figuras geométricas presentes na bandeira: o retângulo, losango e o círculo.
    Existem diferentes versões da Bandeira Nacional, antes da que conhecemos, que foi instituída logo após a proclamação da República, no dia 15 de novembro de 1889. A Bandeira Nacional ainda sofreu algumas influências da bandeira utilizada nos tempos do Império, e a frase "Ordem e Progresso" inspira-se diretamente no lema do autor do movimento positivista Auguste Comte, ocorrido na França, no século XIX: "o amor por princípio e a ordem por base; o progresso por fim". As quatro cores da Bandeira Nacional representam, simbolicamente, as famílias reais das quais descende D.Pedro I, idealizador da Bandeira do Império. Com o passar do tempo, esta informação foi sendo substituída por uma adaptação feita pelo povo brasileiro. Dentro deste contexto, o verde passou a representar as matas, o amarelo as riquezas do Brasil, o azul o seu céu e o branco a paz que deve reinar no Brasil.
    As constelações que figuram na Bandeira Nacional correspondem ao aspecto do céu, na cidade do Rio de Janeiro, às 8 horas e 30 minutos do dia 15 de novembro de 1889. As 27 estrelas da nossa bandeira foram inspiradas nas constelações presentes no céu do Rio de Janeiro. As estrelas representam simbolicamente os 26 Estados e o Distrito Federal. Num total de nove constelações. São elas: Cão Maior, Cão Menor, Carina, Cruzeiro do Sul, Escorpião, Hidra Fêmea, Oitante, Triangulo Austral e Virgem.

    De acordo com a legislação, as bandeiras podem ter tamanhos diversos, e podem ser classificadas em tipos:

    Tipo Tamanho da largura
    1 45 cm
    2 90 cm
    3 135 cm
    4 180 cm
    Outros até 7 múltiplos de 45 cm

    As bandeiras fabricadas com dimensões maiores ou menores, ou intermediários, conforme as condições de uso, devem obedecer, entretanto, as devidas proporções especificadas pela legislação, demonstradas abaixo:

    Proporções das dimensões Fator
    Largura (L) 14 x M
    Comprimento (C) 20 x M
    Distâncias dos vértices do losango ao quadro extremo (1) 1,7 x M
    Raio do círculo azul 3,5 x M
    Largura da faixa branca 0,5 x M

    Para se determinar esses valores, devemos realizar as seguintes etapas:

    [;1-;] dividir a largura medida da bandeira por 14. O valor encontrado será considerado uma medida ou módulo (M);
    [;2-;] A esse módulo serão multiplicados fatores que nos darão as outras medidas que a bandeira deve ter, conforme demostrado na tabela acima. Essas proporções das medidas que a bandeira deve ter podem também ser observadas no desenho abaixo.

    Bandeira2

    Para saber mais visite o blog Fatos Matemáticos do Prof. Paulo Sérgio C. Lino.

    Outras informações você encontrará em:

    Bandeira

    Bandeira nacional

    Bandeira nacional

    domingo, 17 de janeiro de 2010

    Uma curiosidade sobre a multiplicação

     

    Há muito tempo atrás, um antigo mestre me ensinou um artificio valioso para determinar o valor do quadrado de qualquer número terminado em 5. Se esse número, em particular, é de dois algarismos, o processo permite encontrar o resultado, mentalmente, em poucos segundos.

    Suponhamos, por exemplo, que queiramos determinar o quadrado de 35, ou seja clip_image002[4].

    O procedimento é muito simples e consiste de duas etapas:

    • 1ª etapa:   

    Multiplicamos o primeiro algarismo (3), pelo seu consecutivo (4).

    3 x 4 = 12

    • 2ª etapa:

    Todo número que termina em 5, quando elevado ao quadrado, termina em 25.

    O resultado final é obtido pela junção dos resultados obtidos nas duas etapas, ou seja:

    clip_image002

    Portanto:

    clip_image002[4]

     

    Vou generalizar esse artificio para o caso em que a nossa intenção é multiplicar dois números que apresentam as seguintes características:

    • O primeiro algarismo de ambos é igual;
    • A soma do segundo algarismo de cada número vale 10.

    Consideremos, a título de exemplo, os números 62 e 68, que têm as características descritas acima.

    Para obter o resultado de 62 x 68, adotamos um procedimento que compreende duas etapas, semelhantes às descritas anteriormente:

    • 1ª etapa:

    Multiplicamos o primeiro algarismo (6), pelo seu consecutivo (7).

    6 x 7 = 42

    • 2ª etapa:

    Multiplicamos os dois últimos algarismos de cada um dos números.

    2 x 8 = 16

    O resultado final é a junção dos resultados das duas etapas, ou seja:

    62 x 68 = 4216

    Experimente com outros números!!!

     

    Francisco Ismael Reis.

    AssinaturaFundoCla

    17/01/2010.

    Geometria, ótica, astronomia etc.

    O vídeo a seguir faz parte de Donald no país da Matemágica de Walt Disney.

     

    Veja também a seguinte postagem:

    A Matemática e a Música.

    sexta-feira, 15 de janeiro de 2010

    Equações apaixonadas

     

    Até mesmo no campo da Matemática, ciência tida por alguns como fria e desprovida de sentimento, existe espaço para o amor. As equações literais na variável x a seguir conduzem, todas elas, ao mesmo resultado, um resultado que é a essência da vida. Tente achá-lo.

    • clip_image002 
    • clip_image002[19]
    • clip_image002[21]

    Francisco Ismael Reis.

    AssinaturaFundoCla

    15/01/2010.

    quinta-feira, 14 de janeiro de 2010

    Quanto vale a soma?

     

    Durante uma das aulas em que o assunto eram as Progressões (Aritméticas e Geométricas), um aluno me propôs que calculasse o valor da soma da seguinte sequência:

    clip_image002Embora os numeradores das frações formem uma P.A. de razão 1 e os denominadores uma P.G. de razão 3, a sequência em si não representa, nem uma P.A., nem uma P.G., por conseguinte, não se podem aplicar as fórmulas para a obtenção da soma de uma P.A. ou de uma P.G.

    Como proceder, então?

    Após alguns momentos de reflexão, pude observar que a sequência poderia ser reescrita da forma como mostro a seguir:

    clip_image002[7]

    Se observarmos as colunas, notaremos que as sequências que se formam, em cada uma delas, constituem Progressões Geométricas de razão igual a 1/3.

    image

    É possível, portanto, calcular a soma de cada uma dessas colunas, aplicando-se a fórmula da soma dos termos de uma P.G. infinita dada por:

    clip_image002[10]

    Assim sendo, para a:

    • Coluna 1

    clip_image002[14]

    • Coluna 2

    clip_image002[18]

    • Coluna 3

    clip_image002[20]

    A soma desejada S, corresponde à soma S1  + S2 + S3 + … , ou seja:

    clip_image002[22]

    que corresponde à soma de outra P.G. infinita, portanto:

    clip_image002[24]

    Consequentemente:

    clip_image002[28]

     

    Francisco Ismael Reis.

    AssinaturaFundoCla

    14/01/2010.

    quarta-feira, 13 de janeiro de 2010

    O tamanho do papel

     

    Durante a impressão de um documento de várias páginas, o papel contido na bandeja da impressora acabou. Procurei o pacote de folhas para dele retirar mais folhas, que iria colocar na bandeja, e assim terminar o trabalho de impressão. Ao pegar o pacote, a indicação do tamanho do papel nele contido, me chamou a atenção. Eram folhas do formato A4, cujas dimensões são 210 x 297 milímetros.

    De pronto uma questão me veio à cabeça: o que motivara a escolha dessas medidas?

    A primeira resposta a essa pergunta recai na necessidade de uma padronização de medidas, algo mais do que óbvio em tempos de globalização. A padronização, entretanto, implica na escolha de valores de medida adequados. Como escolher e quais são esses valores é a segunda questão que se coloca.

    Procurei na Internet e encontrei várias páginas abordando o assunto, entre elas, dou destaque ao site do Prof. Cardy e a Wikipedia.

    Não é minha intenção, nesta postagem, me aprofundar na discussão dos diferentes formatos e padrões de papel. Meu interesse está voltado especificamente para o padrão An , do qual faz parte o formato A4, e a causa que motivou a escolha dessas dimensões, por órgãos internacionais regulamentadores de normas técnicas.

    Tudo se inicia com a escolha de uma folha de papel de formato retangular que obedeça às seguintes condições:

    • deverá ter 1 m2 de área (seu tamanho será designado por A0 e será adotada como medida padrão);
    • dobrada ou cortada ao meio, deverá resultar em outra que mantenha exatamente as mesmas proporções da folha original.

    Para que essas duas condições sejam acatadas, quais deverão ser então as dimensões dessa folha?

    Consideremos, então, uma folha de dimensões a x 2b (largura x altura), que recortada ao meio, resultará em duas folhas de dimensões a x b, cada uma, conforme indicado na figura a seguir.

    clip_image001

    Como as folhas resultantes, de acordo com a segunda premissa, devem ter medidas proporcionais à folha original, temos que:

    clip_image002[2]

    Concluímos, portanto, que a razão (quociente) entre as medidas que representam a altura e a largura dessa folha retangular deverá ser igual a clip_image002[9], ou seja:

    clip_image002[4]

    Por outro lado, a área da folha tomada como padrão deverá ser de 1 m2, logo:

    clip_image002[7]

    A partir dessas informações é possível construir uma tabela com as medidas das dimensões (largura x altura) que correspondem ao padrão An:

     

      Série A
    (em milímetros)
    A0 841 × 1189
    A1 594 × 841
    A2 420 × 594
    A3 297 × 420
    A4 210 × 297
    A5 148 × 210
    A6 105 × 148
    A7 74 × 105
    A8 52 × 74
    A9 37 × 52
    A10 26 × 37

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

     

    A figura a seguir ilustra os diferentes tamanhos do padrão An

    image

     

    Portanto, manter a mesma proporção entre diferentes tamanhos, facilita a ampliação e redução de um tamanho para o outro e a confecção de folhetos e brochuras com duas páginas em cada folha, o que responde à pergunta feita no início da leitura de qual seria o motivo de se escolher as medidas de 210 x 297 milímetros para o padrão A4.

    Francisco Ismael Reis.

    AssinaturaFundoCla

    13/01/2010.