O Triângulo de Reuleaux

O Triângulo de Reuleaux, também conhecido como Triângulo esférico, recebeu esse nome em homenagem a Franz Reuleaux (1829-1905), engenheiro, cientista e professor de origem alemã, o primeiro a registrar as propriedades desse triângulo.

Apesar do nome, o Triângulo de Reuleuax, não é propriamente um triângulo. Trata-se de uma forma geométrica plana, não circular, construída a partir de um triângulo equilátero.

Para a obtenção do Triângulo de Reuleaux, constróiem-se sobre os três lados de um triângulo equilátero, três arcos de circunferência com centro nos vértices do triângulo e raio de medida igual à medida do lado do triângulo.

Ao se rotacionar o Triângulo de Reuleaux, seus vértices percorrem uma figura que se assemelha a um quadrado de “cantos arredondados”.

Na figura a seguir, construída no software Geogebra, vemos o Triângulo de Reuleaux. Movimente o cursor (ponto verde) para observar o movimento do Triângulo.

Uma aplicação bastante curiosa do Triângulo de Reuleaux foi desenvolvida pelo engenheiro inglês Harry James Watt, que, em 1914, aproveitando as propriedades da curva, concebeu uma broca de furadeira com eixo flexível para fazer furos na forma aproximada de um quadrado. 

Francisco Ismael Reis

30/03/2019

A Cardioide

A Cardióde é uma curva matemática que se assemelha a um coração (o seu nome deriva da palavra grega kardia + eidos que significa coração + forma). Foi apresentada pela primeira vez por Johann Castillon (1708-1791), matemático e astrônomo italiano, em 1741.
Sua equação cartesiana é dada por:

A figura abaixo, construída no software GeoGebra, mostra o gráfico da equação acima. Movimente o cursor para fazer a Cardioide mudar de tamanho e de posição. 



Francisco Ismael Reis

 



29/03/2019

A Catenária

Uma corda, ou uma corrente, suspensa por suas extremidades, presa a dois pontos fixos e sob influência exclusiva da gravidade, gera uma curva parecida com uma parábola, como conjecturou Galileu Galilei (1564-1642).

Christiaan Huygens (1629-1695), físico, matemático e astrônomo holandês, mostrou em 1646, aos 17 anos de idade, que a conjectura feita por Galileu era falsa.
A essa curva, que se parece com uma parábola,mas que não é uma parábola, foi dado o nome de catenária, termo que deriva da palavra latina catena, que significa “cadeia” ou “corrente”.
A equação matemática que descreve a catenária é dada pela seguinte função hiperbólica:

que tem como equivalente exponencial a função:

que define uma família de curvas, entre as quais vemos algumas representadas no gráfico abaixo.

A catenária no nosso cotidiano

A catenária está muito presente em nosso cotidiano. Ela aparece com certa frequência nas construções civis dando forma a arcos e a certas casas construidas de pedra, na construção de pontes pênsis e até mesmo no formato adquirido pela barriga de uma mulher grávida.

Veja os exemplos a seguir:

O Gateway Arch, também conhecido como Portal para o Oeste ou Portal em Arco, está situado na cidade de Saint Louis, Missouri, Estados Unidos.

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O Clochán Irlandês, uma construção típica irlandesa feita de pedras.

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Muitos tuneis apresentam o formato de catenária.

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Assim como diversas pontes pênseis.

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E redes de transmissão.

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Francisco Ismael Reis

27/03/2019

A espiral áurea

A Sequência de Fibonacci é uma sucessão de números inteiros proposta pelo matemático italiano Leonardo Pisa (1170-1250), mais conhecido como Fibonacci: Essa sequência tem seus dois primeiros termos definidos por 1 e 1 sendo cada um dos demais obtidos por meio da soma dos seus dois antecessores. Assim sendo temos:

1º termo		1
2º termo		1
3º termo	1+1	2
4º termo	2+1	3
5º termo	3+2	5
6º termo	5+3	8
7º termo	8+5	13
8º termo	13+8	21
9º termo	21+13	34
10º termo	34+21	55
11º termo	55+34	89
12º termo …	89+55 …	144 …

Ou:

1, 1, 2, 3, 5, 8, 13, 21, 34, 55, 89, 144, …

A partir dos valores dessa sequência, podemos construir vários retângulos, chamados de retângulos áureos.
Começamos com um quadrado de lado 1. Ao seu lado colocamos outro quadrado de lado 1, ao lado desses dois quadrados colocamos outro, agora de lado 2. Ao lado do retângulo obtido com a construção anterior, colocamos um quadrado de lado 3, obtendo um novo retângulo, ao lado do qual colocamos outro quadrado, agora de lado 5, e assim indefinidamente.
Veja essa construção na animação apresentada abaixo, feita para os primeiros sete elementos da sequência de Fibonacci.

Fonte: http://clubes.obmep.org.br/blog/atividade-a-razao-aurea-uma-construcao-da-espiral-aurea/

Se dentro de cada quadrado, desenharmos arcos de circunferência de raio igual ao lado do respectivo quadrado e unirmos os arcos assim obtidos, formaremos uma curva, uma espiral chamada de espiral áurea, também conhecida como espiral logarítmica.

A espiral logarítmica aparece em diversas situações da natureza. Veja algumas delas.

Francisco Ismael Reis

25/03/2019