terça-feira, 30 de dezembro de 2008

Números perfeitos

Os divisores do número 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Excluindo-se desse conjunto de divisores o número 28, os que sobram, ou seja, 1, 2, 4, 7 e 14, são chamados de divisores próprios do número 28, portanto:

Os divisores próprios de um número inteiro e positivo são todos os divisores desse número diferentes do próprio número.

 

Ainda no caso do número 28, observe que a soma de seus divisores próprios, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , vale 28. Quando issso ocorre, dá-se a esse número o nome de número perfeito, logo:

Número perfeito é aquele número inteiro e positivo cuja soma dos divisores próprios é igual a esse número.

 

Além dos números perfeitos, existem também as denominações de números deficientes e números abundantes.

Um número é deficiente quando a soma de seus divisores próprios é menor que o número. Um exemplo de número deficiente é o 15. Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15. Seus divisores próprios são 1, 3 e 5. Observe que 1 + 3 + 5 = 9,  que é menor que 15. Logo, o número 15 é um número deficiente.

Se, por outro lado, a soma dos divisores próprios de um número é maior que esse número, o mesmo é chamado de número abundante. É o caso do número 18, que tem como divisores os números 1, 2, 3, 6, 9 e 18. A soma de seus divisores próprios vale 21, portanto maior que 18.

Os quatro primeiros números perfeitos: 6, 28, 496 e 8128, já eram conhecidos na Grécia Antiga e Euclides (360 a.C. — 295 a.C.) mostrou ser possível obtê-los pela fórmula :

2p – 1. (2p – 1)

na qual p é um número primo e o segundo fator, (2p – 1), deve resultar em um número primo.

De fato, a fórmula se apresenta verdadeira para os quatro primeiros números perfeitos, veja:


para p= 2 –> 21(22 - 1) = 6
para p = 3 –>  22(23- 1) = 28
para p = 5 –> 24(25 - 1) = 496
para p = 7 –> 26(27 - 1) = 8.128

 

Era de se esperar que com essa fórmula fosse possível obter qualquer número perfeito. A linha de raciocínio era a seguinte :

– se ela nos fornece o primeiro número perfeito (6) ao utilizarmos nela o primeiro número primo (p = 2);

– se ela nos fornece o segundo número perfeito (28) ao utilizarmos o segundo número primo (p = 3);

– então,  será de se esperar que o quinto número perfeito seja obtido ao utilizarmos nela o quinto número primo (p = 11). 

Porém, nesse ponto, a fórmula falha, uma vez que para p = 11, o segundo fator da fórmula fica:

211 - 1 = 2047

e 2047 não é um número primo, visto que é o produto de 23 por 89. (Vale relembrar que o segundo fator da fórmula, deve resultar em número primo).

Brinque um pouco com o joguinho a seguir:

 

 

Para melhor visualização do jogo, clique no link a seguir:

 http://nautilus.fis.uc.pt/mn/perfeitos/index.html

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla 
29/12/2008

sábado, 27 de dezembro de 2008

A Matemática e a Música

Compartilhe na companhia do Pato Donald, esta divertida aula de Matemática e Música.

 

Donald no país da matemágica de Walt Disney.

Veja também as seguintes postagens:

Pitágoras e os números irracionais

Os pitagóricos e os números

segunda-feira, 22 de dezembro de 2008

O tesouro de Bresa

Houve outrora, na Babilônia, um pobre e modesto alfaiate chamado Enedim, homem inteligente e trabalhador, que não perdia a esperança de vir a ser riquíssimo. Como e onde, no entanto, poderia encontrar um tesouro fabuloso e tornar-se assim, rico e poderoso?

bau3 Um dia, parou na porta da sua humilde casa, um velho mercador vindo da Fenícia, que vendia uma infinidade de objetos extravagantes. Por curiosidade, Enedim começou a examinar as bugigangas oferecidas, quando descobriu, entre elas, uma espécie de livro de muitas folhas, onde se viam caracteres estranhos e desconhecidos. Era uma preciosidade aquele livro, afirmava o mercador, e custava apenas três dinares. Era muito dinheiro para o pobre alfaiate, razão pela qual o mercador concordou em vender-lhe o livro por apenas dois dinares.
Logo que ficou sozinho, Enedim tratou de examinar sem demora, o bem que havia adquirido. Qual não foi a sua surpresa quando conseguiu decifrar, na primeira página, a seguinte legenda: "O segredo do tesouro de Bresa". Que tesouro seria esse?

Enedim recordava vagamente de já ter ouvido qualquer referência a isto, mas não se lembrava onde, nem quando.

Mais adiante decifrou: "O tesouro de Bresa, enterrado pelo gênio do mesmo nome entre as montanhas do Harbatol, foi ali esquecido, e ali se acha ainda, até que algum homem esforçado venha encontrá-lo".

Muito interessado, o esforçado tecelão dispôs-se a decifrar todas as páginas daquele livro, para apoderar-se de tão fabuloso tesouro. Mas, as primeiras páginas eram escritas em caracteres de vários povos, o que fez com que Enedim estudasse os hieróglifos egípcios, a língua dos gregos, os dialetos persas e o idioma dos judeus. Em função disso, no final de três anos Enedim deixava a profissão de alfaiate e passava a ser o intérprete do rei, pois não havia na região ninguém que soubesse tantos idiomas estrangeiros. Passou a ganhar mais e a viver numa confortável casa.

Continuando a ler o livro encontrou várias páginas cheias de cálculos, números e figuras. Para entender o que lia, estudou matemática com os calculistas da cidade e, em pouco tempo, tornou-se grande conhecedor das transformações aritméticas. Graças aos novos conhecimentos, calculou, desenhou e construiu uma grande ponte sobre o rio Eufrates, o que fez com que o rei o nomeasse Presidente perfeito da Câmara local.

Ainda por força da leitura do livro, Enedim estudou profundamente as leis e princípios religiosos do seu país, sendo nomeado primeiro-ministro daquele reino, em decorrência do seu vasto conhecimento. Passou a viver em sumptuoso palácio e recebia as visitas dos príncipes mais ricos e poderosos do mundo.

Graças ao seu trabalho e ao seu conhecimento, o reino progrediu rapidamente, trazendo riquezas e alegrias para todo o seu povo. No entanto, ainda não conhecia o segredo de Bresa, apesar de ter lido e relido todas as páginas do livro.

Certa vez, teve a oportunidade de questionar um venerando sacerdote a respeito daquele mistério, que sorrindo esclareceu:

– O tesouro de Bresa já está em seu poder, pois graças ao livro você adquiriu grande saber, que lhe proporcionou os invejáveis bens que possui.
Afinal, Bresa significa "saber" e Harbatol quer dizer "trabalho". Com estudo e trabalho pode o homem conquistar tesouros inimagináveis.

O tesouro de Bresa é o saber, que qualquer homem esforçado pode alcançar, por meio de bons livros, que possibilitam "tesouros encantados" àqueles que se dedicam aos estudos com amor e tenacidade.

Malba Tahan, Os melhores contos.

O número 142857

Se o multiplicamos por 2,o produto é:

142857 x 2 = 285714

Os dígitos que formam o produto são os mesmos do número dado, com uma ordem diferente

Se o multiplicamos por 3, obtemos:

142857 x 3 = 428571

Vamos fazer a multiplicação por 4:

142857 x 4 = 571428

Da multiplicação por 5 resulta:

142857 x 5 = 714285

A multiplicação por 6 é:

142857 x 6 = 857142

Multiplicando-o por 7 chegamos a um resultado curioso:

142857 x 7 = 999999

Se o multiplicamos por 8 o produto é:

142857 x 8 = 1142856

Todos os algarismos do número original aparecem no produto, à exceção do 7, que se decompôs em duas partes: 6 e 1.

Por fim, ao multiplicar por 9 resulta:

142857 x 9 = 1285713

Podemos ver que o único dígito que não aparece é o 4, que aparece decomposto em duas partes: o 1 e o 3.

O número 142857 tem suficientes e relevantes propriedades para ser incluído entre os números mais curiosos que existem.

Existirão outros números como este?

Tirado do livro: "O Homem que Sabia Contar" de Malba Tahan

domingo, 14 de dezembro de 2008

Sobre números primos

 

Número primo é todo número inteiro maior que 1 que somente é divisível por si próprio e pela unidade.

 

Crivo de Eratóstenes A palavra primo, quando nos referimos a números primos, ao contrário do que se possa pensar, não denota parentesco. Sua origem se deve a um antigo conceito numérico dos pitagóricos.

Acredita-se que a noção de número primo tenha sido introduzida por Pitágoras, filósofo e matemático grego que nasceu em Samos por volta do ano 570 a. C. e morreu em Metaponto por volta do ano 497 a.C..

Para os pitagóricos, o número um, ao qual chamavam de unidade (monad, em grego), era o elemento gerador dos demais, que recebiam simplesmente a denominação de número (arithmós, em grego).

Nessa época, os matemáticos gregos dividiam, o que hoje chamamos de números naturais, em três classes:

  • a monad ( ou unidade, ou 1 ).
  • os protói arithmói ( números primos ) ou asynthetói arithmói ( números incompostos ).

são aqueles que não podem ser gerados pelo produto de outros arithmói, como é o caso de: 2, 3, 5, 7, 11, ...

  • os deuterói arithmói ( números secundários ) ou synthetói arithmói ( números compostos ).

são aqueles que são gerados pelo produto de outros arithmói, como é o caso de 4 = 2.2, 6 = 2.3, 8 = 2.4, 9 = 3.3, etc.

 

Em os Elementos de Euclides (300 a.C.) os números primos são definidos de acordo com as idéias apresentadas pelos pitagóricos acerca do assunto.

Eratóstenes  (276 - 194 a.C.) foi um matemático, bibliotecário e astrônomo grego. Dentre suas contribuições, destaca-se um método para a determinação de números primos, que é conhecido como o crivo de Eratóstenes.

Acompanhe, através do exemplo a seguir, com o qual vamos determinar os números primos menores que 120, como funciona o crivo de Eratóstenes.
Antes de mais nada, listamos em uma tabela, em ordem crescente, todos os números naturais de 2 até 120.
O próximo passo consiste em marcar o número 2 como número primo. Eliminamos a seguir todos os números maiores que 2 e múltiplos de 2 (4, 6, 8, ...), que não são primos, porque são números pares.
Os próximos números a serem eliminados da tabela são os múltiplos de 3 maiores que 3 (9,15,21,..); que também não são primos, pois são divisíveis por 3.
Continuando, eliminamos os múltiplos de 5 maiores que 5 e, finalmente, os múltiplos de 7 maiores que 7.
Os números que restarem são todos os números primos menores do que 120.

Confira na tabela a seguir, a aplicação do crivo de Eratóstenes:

No livro De Institutione Arithmética, sobre Teoria dos Números, do romano Boethius (500 d.C), mais conhecido como Boécio, aparece pela primeira vez o termo numerus primus.

Por volta de 1200 d.C. Fibonacci, no seu livro Liber Abacci, prefere a denominação primus a incomposto como era hábito dos árabes, consagrando, dessa maneira, o termo número primo por nós utilizada.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoEsc 
14/12/2008

quarta-feira, 10 de dezembro de 2008

A respeito do CPF

 

"Hoje em dia, os nomes já não possuem significado. O que importa são os números: o número da conta, da identidade, do passaporte. São eles que contam."

José Saramago

 

O Cadastro de Pessoas Físicas - CPF é um banco de dados gerenciado pela Secretaria da Receita do Brasil - RFB que armazena informais cadastrais de contribuintes obrigados à inscrição no CPF, ou de cidadãos que se inscreveram voluntariamente.

O CPF de um contribuinte é um número formado por 11 dígitos com o formato:

ABC.DEF.GHI-XY

Nesse número os dois últimos dígitos (XY) são chamados de dígitos verificadores e servem para validar o número de CPF como um todo. Cada um desses dígitos verificadores é obtido em duas etapas a partir de cálculos efetuados nos nove primeiros dígitos do número.

Para tornar mais clara a forma de obtenção de um número de CPF válido, vamos escolher aleatóriamente um número de 9 dígitos, por exemplo, o número 987.654.321, e determinar os dois dígitos verificadores que formarão com os demais um número de CPF válido.

1ª etapa - Cálculo do primeiro dígito verificador (X).

1. Cada um dos 9 dígitos que formam o número escolhido, contados da esquerda para a direita, deverá ser multiplicado, respectivamente, por 10, por 9, por 8, ... , por 2. Veja o quadro a seguir:

clip_image001[19]

2. Efetuamos a soma de todos os resultados obtidos no procedimento anterior:

clip_image001[21]

3. Vamos dividir a soma resultante (390) por 11, considerando somente a parte inteira do quociente, e observar apenas o resto da divisão.

4. Se esse resto for menor que 2, o primeiro dígito verificador será 0 (zero). Caso contrário, subtrai-se de 11 o valor obtido.

No exemplo em que estamos trabalhando o resto é 5, logo o primeiro dígito verificador é:

11 - 5 = 6 ou seja, X = 6

2ª etapa - Cálculo do segundo dígito verificador (Y).

Para calcular o segundo dígito verificador, procederemos de forma parecida com o que fizemos na 1ª etapa, acrescentando ao final dos 9 primeiros dígitos, o primeiro dígito verificador, no nosso exemplo, calculado como 6 (seis).

1. Montamos um quadro semelhante ao anterior, começando a multiplicação de cada dígito por 11, e não por 10, uma vez que temos um dígito a mais nesse número:

image

2. Efetuamos a soma de todos os resultados:

clip_image001[6]

3. Vamos dividir a soma resultante (467) por 11, considerando somente a parte inteira do quociente, e observar apenas o resto da divisão.

4. Se esse resto for menor que 2, o segundo dígito verificador será 0 (zero). Caso contrário, subtrai-se de 11 o valor obtido.

Esse resto, coincidentemente, volta a ser 5, logo o segundo dígito verificador é:

11 - 5 = 6, ou seja, Y = 6

Portanto, o número:

987.656.789-66

representa um número de CPF válido.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla 
10/12/2008

segunda-feira, 8 de dezembro de 2008

A multiplicação em gelosia

 

A adição e a multiplicação eram efetuadas na Índia de modo muito semelhante ao que usamos hoje. Usavam pequenas lousas com tinta removível branca ou uma tábua coberta de areia ou farinha. Entre os esquemas usados para a multiplicação havia um que é conhecido sob vários nomes: multiplicação em reticulado, multiplicação em gelosia, ou em célula ou em grade. A idéia atrás disso é fácil de perceber no exemplo a seguir, onde multiplicamos 635 por 28.

A multiplicação em gelosia

O multiplicando é colocado acima do reticulado e o multiplicador aparece à direita, como mostrado na figura 1.

Os produtos parciais são colocados nas células quadradas, como podemos ver na figura 2.

Os dígitos nas fileiras diagonais são somados e o produto 17 780 aparece à esquerda e em baixo, de acordo com a figura 3. O único “transporte” necessário na multiplicação em reticulado aparece nas adições finais ao longo das diagonais.

Não se sabe quando ou onde a multiplicação em gelosia apareceu, mas a Índia parece ser a fonte mais provável; foi usada lá pelo menos desde o século XII, de onde parece ter sido levada à China e à Arábia.

Dos árabes passou para a Itália nos séculos XIV e XV e lá o nome gelosia lhe foi associado por causa da semelhança com os gradeados colocados em frente às janelas em Veneza e em outros lugares.

 

Carl B. Boyer, História da Matemática, São Paulo, Edgard Blücher.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V6, Editora Moderna, 1996.

Nota: Esta postagem foi motivada por uma conversa que tive hoje (08/12/2008), na sala dos professores, com a amiga e dedicada colega de profissão, a professora Alzira Mizrahi Goldberg.

sábado, 6 de dezembro de 2008

Os poliedros de Platão

 

Platao Platão, cujo verdadeiro nome acredita-se ser Arístocles, nasceu em Atenas por volta do ano 428 a.C., foi discípulo de Sócrates com quem conviveu durante oito anos.

Em 387 a.C., fundou em Atenas uma escola chamada Academia, que ostentava em sua fachada: "Que aqui não entre quem não for geômetra". Em pouco tempo, esta escola tornou-se um dos maiores centros culturais da Grécia, tendo recebido políticos e filósofos como Aristóteles, Demóstenes, Eudoxo de Cnido e Esquines, entre outros.

Platão morreu por volta do ano 348 a.C., portanto com 80 anos, deixando como legado uma vasta obra conhecida como Diálogos, composta de 30 escritos.

Para Platão a Matemática é, antes de tudo,  a chave da compreensão do universo. Indagado certa vez sobre a atividade de Deus, respondeu:

“Ele geometriza eternamente”

Platão e a sua escola começaram a dar ênfase  à importância dos sólidos geométricos.

Poliedros são sólidos geométricos cuja superfície é formada por um número finito de faces, em que cada face é um polígono. Seus elementos principais são as faces, os vértices e as arestas. Um poliedro é chamado de regular quando suas faces são polígonos regulares e congruentes, e de todos os vértices parte um mesmo número de arestas. É possível demonstrar que existem apenas cinco poliedros regulares.

Um poliedro é denominado poliedro de Platão se, e somente se, forem verificadas as seguintes condições:

  • Todas as faces devem ser polígonos, regulares ou não, com o mesmo número de arestas.
  • Em todos os vértices deve concorrer o mesmo número de arestas.
  • Deve valer a relação de Euler: V - A + F = 2, na qual V, representa o número de vértices do poliedro, A, o número de arestas e F, o número de faces.

São cinco, e apenas cinco, os poliedros de Platão:

O Tetraedro

Características:

Vérices: 4

Arestas: 6

Faces: 4 triangulares

 

O Hexaedro

Características:

Vérices: 8

Arestas: 12

Faces: 6 quadrangulares

 

O Octaedro

Características:

Vérices: 6

Arestas: 12

Faces: 8 triangulares

 

O Dodecaedro

Características:

Vérices: 20

Arestas: 30

Faces: 12 pentagonais

 

O Icosaedro

Características:

Vérices: 12

Arestas: 30

Faces: 20 triangulares

 

Francisco Ismael Reis.

(06/12/2008)

sexta-feira, 5 de dezembro de 2008

O número e

 

Tão fascinante quanto o número p (3,141592 ...) é o número e, conhecido como número de Napier, ou constante de Neper, em homenagem a John Napier (1550 - 1617), matemático escocês, a quem se deve a descoberta dos logaritmos.

Embora tenha despertado o interesse de muitos matemáticos, foi Leonard Euler (1707 - 1783), um matemático suiço, quem mais se empenhou no estudo do número e, razão pela qual o mesmo também é conhecido por número de Euler.

O número e é um número irracional e aparece como resultado da operação:

image

que ocorre com grande freqüência em matemática financeira, e seu valor é:

e = 2,718 281 828 459 045 235 360 287 ...

Veja outras maneiras de representar o número e:

  • Como a soma de uma série infinita em que n! representa o fatorial de n.

image

  • Como a expansão de uma fração contínua.

Euler

 

Francisco Ismael Reis.

quinta-feira, 4 de dezembro de 2008

O Grande Hotel de Hilbert

 

Hilbert1912David Hilbert, matemático alemão, nasceu na cidade de Königsberg em 1862, sendo considerado um dos maiores matemáticos do século XX.

Em 1900, no Congresso Internacional de Matemática, realizado em Paris,  apresentou uma lista de 23 problemas, alguns dos quais não foram resolvidos até hoje.

Hilbert, através de um exemplo, que recebeu o nome de "O Paradoxo do Grande Hotel de Hilbert", nos leva a refetir sobre quantidades infinitas.

Suponhamos um hotel constituído de infinitos quartos, dispostos horizontalmente, um ao lado do outro.

Certo dia chega a esse hotel um novo hóspede e qual não é a sua decepção, quando na recepção se depara com uma placa informando não haver vagas.

O gerente do hotel, uma pessoa sempre muito prestativa, vendo o ar de tristeza do pretenso hóspede, pede para que o mesmo aguarde enquanto tenta resolver o problema.

Que fez então o gerente?

Pediu a todos os hóspedes para que se mudassem para os quartos de numeração imediatamente superior àquela que ocupavam. Assim sendo, o hóspede do quarto 1, mudou-se para o quarto 2, o do quarto 2, para o quarto 3, o do quarto 3, para o quarto 4, e assim sucessivamente. Dessa maneira, todos os hóspedes continuaram acomodados, e o novo hóspede pode, então, ocupar o quarto de número 1, que ficara vago.

No dia seguinte, um ônibus extremamente grande, com capacidade para infinitos passageiros e totalmente lotado, chega ao hotel com o propósito de hospedar todos esses passageiros. Ao entrar na recepção do hotel, o responsável pelo ônibus observa a placa informando não haver vagas. Desolado, vira-se e encaminha-se para a porta de saída do hotel. O gerente, percebendo que estava prestes a perder um número infinito de diárias, dirigiu-se ao responsável pelo ônibus e pediu-lhe que aguardasse por alguns instantes, enquanto tentava ajeitar a situação.

O que fez, desta vez, o gerente do hotel?

Pediu gentilmente a cada um dos hóspedes que ocupavam o hotel, que passassem a ocupar os quartos cujos números correspondessem ao dobro do número do quarto que ocopavam até àquele momento. Dessa forma, o hóspede que ocupava o quarto número 1, passou a ocupar o quarto número 2, o que ocupava o quarto número 2, passou a cupar o quarto número 4, o que ocupava o qurto número 3, passou a ocupar o quarto número 6, e assim sucessivamente. Dessa forma, todos os hóspedes que já estavam acomodados, continuaram acomodados, ocupando todos os quartos de numeração par. Por outro lado, os quartos de numeração ímpar, estavam agora vazios, podendo, dessa maneira, ser ocupados pelos passageiros do ônibus.

Através desse criativo exemplo, Hilbert nos mostra de forma muito clara e simples que:

  1. Infinito somado com um e, infinito subtraído de um, continua sendo infinito;
  2. Infinito infinito somado com um milhão e, infinito subtraído de um milhão, continua sendo infinito;
  3. O dobro de infinito, continua sendo infinito;
  4. A metade de infinito, continua sendo infinito.
     

Francisco Ismael Reis.

quarta-feira, 3 de dezembro de 2008

A caminho de St. Ives

 

Na coleção de histórias infantis Mamãe Gansa do século XVIII, encontramos os seguintes versos:

A caminho de St. Ives,
Encontrei um homem com sete esposas;
Cada esposa tinha sete sacos,
Cada saco tinha sete gatos,
Cada gato tinha sete gatinhos,
Gatinhos, gatos, sacos e esposas,
Quantos iam a caminho de St. Ives?

ives1

St. Ives é uma pequena cidade inglesa perto de Cambridge que deve o seu nome a Santo Ivo, bispo persa que morreu na localidade por volta de 600 d.C..

O Papiro de Rhind ou Papiro de Ahmes é um documento egípcio de cerca de 1650 a.C., onde um escriba de nome Ahmes detalha a solução de 87 problemas de aritmética e geometria. No problema 79 desse papiro encontramos:

Casas 7
Gatos 49
Ratos 343
Trigo 2401
Hekat [1] 16807
TOTAL 19607

 

Ahmes descreve aqui um enigma, no qual em cada uma das sete casas havia sete gatos, cada um dos quais comeu sete ratos, cada um dos quais teria comido sete espigas de trigo, cada uma das quais teria produzido sete hekats (medidas) de grão. A incógnita pedida para o problema é o total que, sendo a soma de todas as casas, gatos, ratos, trigo e hekats, não tem nenhum valor prático. Em 1202, o famoso matemático italiano Leonardo de Pisa (apelidado Fibonacci; viveu por volta de 1170 - 1240) publicou um livro intitulado Liber abaci (Livro do ábaco). Nele, propõe um problema que diz que "sete velhas estão viajando para Roma e cada uma tem sete mulas. Em cada mula, há sete sacos, em cada saco, há sete pães, em cada pão, há sete facas, e cada faca tem sete bainhas. Encontre o total de todos eles".[2]

A semelhança entre os versos A caminho de St. Ives ...  (séc. XVIII) e o que se encontra tanto no Papiro de Ahmes (1650 a.C.) quanto no Liber abaci (1202 d.C.) de Fibonacci é de fato impressionante, como notável é também que um problema que tem mais de 3500 anos sobreviva imutável na sua essência ao longo do tempo.

A propósito, com relação à pergunta: Quantos iam a caminho de St. Ives? , dependendo da interpretação, podem ser dadas duas respostas:

1ª. Um, que é o narrador da história. Os demais estavam vindo se St. Ives.

2ª. Nenhum, se considerarmos que o narrador não pertence ao grupo de gatinhos, gatos, sacos e esposas.

[1] Hekat ou heqat era uma antiga unidade de volume egipcia, usada para medir grãos.

[2] Mario Livio. A equação que ninguém conseguia resolver, Editora Record, 2008.

 

Francisco Ismael Reis.

A lenda de Sessa

 

Para provar a seus contemporâneos que um monarca, por mais poderoso que seja, não é nada sem seus súditos, um brâmane hindu chamado Sessa inventou um dia o jogo de xadrez.

Quando este jogo foi apresentado ao rei das Índias, este ficou tão maravilhado com a sua engenhosidade e a grande variedade de suas combinções que mandou chamar o brâmane para recompensá-lo pessoalmente:

– Quero recompensar-te por tua extraordinária invenção – disse o rei. – Escolhe tu mesmo a recompensa e a receberás imediatamente. Sou suficientemente rico para realizar teu desejo mais absurdo.

O sacerdote pediu que o rei lhe desse um pouco de tempo para pensar em sua resposta. E, no dia seguinte, espantou a todos com a incrível modéstia do seu pedido.

– Meu bom soberano – exclamou ele –, queria que me désseis a quantidade de trigo necessária para encher as 64 casas do meu tabuleiro. Um grão para a primeira, dois para a segunda, quatro para a terceira, oito para a quarta, dezesseis para a quinta, e assim por diante. Em resumo, queria que fosse colocado em cada caso o dobro de grãos que na casa precedente.

– Não acredito que sejas tão tolo a ponto de fazer um pedido tão modesto! – exclamou o rei, surpreso. – Poderias ofender-me com um pedido tão indigno de minha benevolência e tão desprezível diante do que eu poderia oferecer-te. Mas que seja! Se é este o teu desejo, meus servidores te trarão teu saco de trigo antes do cair da noite.

O brâmane sorriu e deixou o palácio.

À tarde, o soberano se lembrou da promessa e se informou com seu ministro para saber se o louco Sessa tinha tomado posse de sua magra recompensa.

– Soberano – disse o alto dignitário –, vossas ordens estão sendo executadas. Os matemáticos de vossa augusta corte estão determinando o número de grãos que devem ser dados ao sacerdote.

O semblante do reu se obscureceu. Ele não estava habituado a uma execução tão morosa de suas ordens.

À noite, antes de se deitar, o rei insistiu uma vez mais para saber se o brâmane já recebera seu saco.

– Ó rei – disse o ministro, hesitante –, os matemáticos ainda não chegaram ao fim de suas operações. Estão trabalhando sem descanso e esperam terminar sua tarefa antes do amanhecer.

É preciso notar que os cálculos se revelaram muito mais longos do que se pensara. Mas o rei não quis saber de nada, e ordenou que o problema fosse resolvido antes do seu despertar.

Mas no dia seguinte esta ordem ainda ficou sem efeito, o que incitou o monarca enfurecido a despedir os calculadores.

Nesse momento, um dos conselheiros do monarca interveio:

– Ó soberano, tendes razão de despedir estes calculadores incompetentes. Eles utilizavam métodos mouito antigos. Ainda estavam usando as possibilidades numéricas de seues dedos e as colunas sucessivas de uma tábua de contar. Disseram-me que os calculadores da província do noroeste do reino empregam já há algum tempo um método bem superior e mais rápido do o deles. Parece que é mais rápido e mais fácil de guardar. Operações que exigiriam de seus matemáticos vários dias de trabalho difícil representariam, para estes de quem vos falo, um trabalho de algumas horas!

Seguindo esses conselhos, foi chamado um desses engenhosos matemáticos, que, após ter resolvido o problema em tempo recorde, se apresentou ao rei para comunicar o resultado.

– A quantidade de trigo pedida  – disse num tom grave – é imensa.

Mas o rei retorquiu que, por maior que ela fosse, seus celeiros não seriam esvaziados.

Estupefato, ouviu então do sábio as seguintes palavras:

– Ó soberano, apesar de toda vossa potência e riqueza, não está em vosso poder oferecer uma tal quantidade de trigo. Ela está muito além do conhecimento e do uso de que dispomos dos números. Saibais que, mesmo se esvaziásseis todos os celeiros de vosso reino, o resultado obtido seria desprezível em comparação com esta enorme quantidade. Aliás, ela não pode ser encontrada nem no conjunto de todos os celeiros da Terra. Se desejais de fato oferecer esta recompensa, será preciso começar secando os rios, os lagos, os mares e os oceanos, depois derreter toda neve e as geleiras que recobrem as montanhas e certas regiões do mundo e transformar, enfim, tudo em campos de trigo. E só depois de ter semeado setenta e três vezes seguidas o total desta superfície podereis saldar esta pesada dívida. Mas, para uma quantidade desta ordem, seria preciso armazenar um volume de trigo de quase doze bilhões e três milhões de metros cúbicos e construir um celeiro de cinco metros de largura, dez de comprimento e ... treze milhões de quilômetros de profundidade (ou seja, uma altura igual a duas vezes a distância da Terra ao Sol)!

– Na verdade – acrescentou o sábio –, os grãos de trigo que este brâmane vos pediu são exatamente em número de

18.446.744.073.709.551.615

Depois, o calculador explicou ao soberano as características da numeração revolucionária dos sábios de sua região natal, ensinando-lhe em seguida os métodos de cálculo correspondentes, além de lhe fornecer nos seguintes termos a justificação de seus próprios cálculos:

– De acordo com o pedido do bramâne, seria preciso colocar:

1 grão de trigo na primeira casa;

2 grãos de trigo na segunda;

4 grãos (ou seja, 2 x 2) na terceira;

8 grãos (ou seja, 2 x 2 x 2) na quarta;

16 grãos (ou seja, 2 x 2 x 2 x 2) na quinta;

e assim por diante, multiplicando sempre por 2 de uma casa para a outra. Assim, na 64ª casa seria preciso colocar tantos grãos quantas unidades há no resultado de 63 multiplicações sucessivas por 2 (isto é,  263 grãos). A quantidade pedida é, conseqüentemente, igual à soma desses 64 números (ou seja: 1 + 2 + 22 + ... + 263 ).

– Se acrescentásseis um grão a este número – prosseguiu o calculador –, haveria 2 grãos na primeira, logo 2 vezes 2 grãos nas duas primeiras. Na terceira, haveria então (2 x 2 + 2 x 2) grãos de trigo, isto é, 2 vezes 2 vezes 2 ao todo. Na quarta, o total seria (2 x 2 x 2 + 2 x 2 x 2), isto é, 2 vezes 2 vezes 2 vezes 2 grãos. Procedendo deste modo, de um em um chegaríeis a um total igual ao resultado de 64 multiplicações sucessivas por 2 (ou seja, 264). Ora, este número é igual ao produto de 6 vezes o produto de 10 multiplicações sucessivas por 2, sendo ele mesmo multiplicado pelo número 16.

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– E – concluiu ele –, como este número foi obtido acrescentando uma unidade à quantidade procurada, o total de grãos é então igual a ele próprio menos um grão. Se efetuardes as operações precedentes segundo o método que vos ensinei, podereis ficar certo, ó soberano, de que a quantidade de grãos pedida é exatamente de dezoito quintilhões, quatrocentos e quarenta e seis quatrilhões, setecentos e e quarenta e quatro trilhões, setenta e três bilhões, setecentos e nove milhões, quinhentos e cinqüenta e um mil, seiscentos e quinze!

– Decididamente – respondeu o rei, muito impressionado –, o jogo que este brâmane inventou é tão engenhoso quanto é sutil o seu pedido! Quanto a teus métodos de cálculo, sua simplicidade iguala a sua eficácia. Diga-me agora, sábio homem, o que é preciso fazer para pagar uma dívida tão incômoda?

O outro refletiu um instante e disse:

– Fazer este brâmane esperto cair na sua própria armadilha. Proponha-lhe vir contar pessoalmente, grão por grão, toda a quantidade de trigo que ele teve a audácia de pedir. Mesmo se ele trabalhasse sem descanso dia e noite, à razão de um grão por segundo, só recolheria um metro cúbico em seis meses, uns vinte metros cúbicos em dez anos e ... uma parte inteiramente insignificante pelo resto de sua vida! ...

 

Georges Ifrah, Os números - a história de uma grande invenção - Editora Globo, 1996.

Por que a circunferência tem 360º?

 

Dividindo-se uma circunferência em 360 partes iguais, chama-se grau à medida do arco correspondente a uma dessas 360 partes.

Essa é a forma clássica de apresentar a definição de grau, quer pela maioria dos autores de livros didáticos, quer em sala de aula pelos professores ao iniciarem o estudo de conteúdos que envolvam medidas angulares, como, por exemplo, trigonometria.
Tão logo é apresentada, uma pergunta vem à cabeça dos interessados pelo assunto:
Por que se escolheu dividir a circunferência em 360 partes iguais?
Não existem explicações absolutas que justifiquem os motivos que levaram a tal divisão, entretanto, pelo menos duas delas podem ser aceitas como as mais prováveis: 

  • Hiparco de Nicéia (190 a.C. e 125 a.C.) matemático e astronomo grego foi um dos grandes nomes da escola de Alexandria. É conhecido, hoje, como fundador da Astronomia e Pai da Trigonometria. HiparcoFortemente influenciado pela matemática dos babilônios, que utilizavam um sistema de numeração de base 60 (sistema sexagesimal), Hiparco acreditava ser essa a melhor base para fazer contagens. Os motivos se devam, talvez, ao fato de que 60 é um número que possui muitos divisores (1, 2, 3, 4, 5 , 6, 10, 12, 15, 20, 30 e 60) o que o torna possível de ser decomposto num produto de vários fatores, facilitando, dessa maneira, principalmente, as operações de divisão. Deve-se a ele, inspirado pelos trabalhos de Hipsicles (180 a.C.) a divisão da circunferência em 360 partes iguais, bem como a divisão do grau em 60 minutos e a do minuto em 60 segundos.
  • As antigas civilizações, cerca de 4000 a.C., acreditavam que o Sol girava em torno da Terra descrevendo uma órbita circular perfeita que durava 360 dias para se completar.Assim sendo, a cada dia o Sol percorria um arco correspondente a 1/360 da circunferência total. A esse arco associava-se um ângulo cujo vértice era o centro da Terra e cujos lados passavam pelas extremidades do arco. À medida desse ângulo foi dado o nome de grau e simbolizada por 1°.

Atualmente a unidade padrão de medida de ângulo plano adotada pelo Sistema Internacional de Unidades (SI) é o radiano (simbolizada por rad), definida como sendo o arco de circunferência cujo comprimento, quando retificado, vale o raio da circunferência que o contém.

 

Francisco Ismael Reis