domingo, 3 de março de 2019

Duas séries infinitas

Já tive a oportunidade, em momentos distintos, de escrever neste blog, sobre o número de ouro, representado pela letra grega φ (fi) e cujo valor é:

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Pois bem motivado pela postagem anterior – Uma equação irracional – , vou escrever sobre duas expressões matemáticas que tem o formato de séries infinitas e cujo valor é surpreendente.

  • A primeira delas é:

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Vamos calcular seu valor:

Igualando essa expressão a x:

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Elevando, agora, ambos os membros ao quadrado:

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Observe que nesta última equação a expressão inicial, aquela que chamamos de x e que aparece assinalada em vermelho, se repete infinitamente, assim sendo, podemos escrever que:

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Resolvendo essa equação do 2º grau com o auxílio da fórmula de Bhaskara:

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Se considerarmos apenas a raiz positiva, temos que:

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Que como vimos anteriormente, trata-se do número de ouro.

  • A outra expressão é:

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Também aqui, vamos chamar de x a essa expressão:

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Repare que nesta última equação, a parte em vermelho é o próprio x, ou seja:

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Multiplicando ambos os membros dessa equação por x, obtemos:

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Que tem como raízes:

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Considerando apenas a raiz positiva:

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E mais uma vez, temos como solução o número de ouro.

Francisco Ismael Reis.

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03/03/2019

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