Já tive a oportunidade, em momentos distintos, de escrever neste blog, sobre o número de ouro, representado pela letra grega φ (fi) e cujo valor é:
Pois bem motivado pela postagem anterior – Uma equação irracional – , vou escrever sobre duas expressões matemáticas que tem o formato de séries infinitas e cujo valor é surpreendente.
- A primeira delas é:
Vamos calcular seu valor:
Igualando essa expressão a x:
Elevando, agora, ambos os membros ao quadrado:
Observe que nesta última equação a expressão inicial, aquela que chamamos de x e que aparece assinalada em vermelho, se repete infinitamente, assim sendo, podemos escrever que:
Resolvendo essa equação do 2º grau com o auxílio da fórmula de Bhaskara:
Se considerarmos apenas a raiz positiva, temos que:
Que como vimos anteriormente, trata-se do número de ouro.
- A outra expressão é:
Também aqui, vamos chamar de x a essa expressão:
Repare que nesta última equação, a parte em vermelho é o próprio x, ou seja:
Multiplicando ambos os membros dessa equação por x, obtemos:
Que tem como raízes:
Considerando apenas a raiz positiva:
E mais uma vez, temos como solução o número de ouro.
Francisco Ismael Reis.
03/03/2019
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