sábado, 16 de março de 2019

O problema dos nove copos

Sobre uma mesa estão colocados enfileirados nove copos, conforme mostra a figura:
Inverte-se, sucessivamente e um de cada vez, a posição de seis desses copos. Um copo invertido ficará ao contrário se antes estava direito, e vice-versa.
Num primeiro movimento, inverte-se a posição do seis últimos copos que ficam assim distribuídos:
Num segundo movimento, inverte-se a posição dos seis primeiros:

Num terceiro movimento, invertem-se seis copos a partir do segundo:
Num quarto movimento, vamos inverter seis copos, a partir do terceiro:

E assim, sucessivamente.

A questão é

Quantos movimentos sucessivos são necessários para que todos os nove copos fiquem na posição contrária àquela em que se encontravam originalmente?


Solução:
Vamos substituir por +1 os copos que estão com a boca voltada para cima (direitos) e por –1 os que estão com a boca voltada para baixo (invertidos) e multiplicar os valores assim obtidos.
De inicio temos:
Após o primeiro movimento:
Após o segundo movimento teremos:
Após o terceiro:
E após o quarto:
Observe que, após a inversão de seis dos nove copos, o produto, em qualquer situação é sempre +1, isto porque em cada movimento mudamos os sinais de uma quantidade par de números.
Supondo que todos os copos estivessem invertidos, teríamos a seguinte situação:
Algo que, como mostramos anteriormente, nunca ocorrerá, uma vez que, após a inversão dos seis primeiros copos, o produto é sempre igual a +1. Dessa maneira, o problema não tem solução.
Francisco Ismael Reis
16/03/2019

Um comentário:

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