A Clotóide

 

Vemos na figura ao lado uma das curvas mais famosas e mais estranhas da Matemática. É chamada clotóide. O seu nome vem do grego Klothos (eu fio). A clotóide é a curva que se enrola e não pode parar de se enrolar.

É gerada por um ponto M, que a partir de um ponto O (num sentido ou no outro) percorre uma circunferência cujo raio é inversamente proporcional ao arco OM percorrido pelo ponto M. Como o raio de curvatura vai diminuindo, a curva vai se enrolando como se fosse uma espiral. A clotóide foi mesmo denominada espiral de Cornu (1814 – 1902) que a descobriu ao estudar (1864) o fenômeno da difração.

A clotóide foi analisada pelo suíço Jacques II Bernoulli (1759 – 1789), neto do suíço Jean Bernoulli.

Ocorre com a clotóide uma particularidade: A curva tem dois pontos extremos que são inatingíveis. São pontos assintóticos da clotóide.

 

Tahan, Malba. As maravilhas da Matemática, p.177. Edições Bloch, 1973.

Numeração binária

 

O nosso sistema de numeração é conhecido como Sistema de numeração decimal, isto porque, um dos primeiros, senão o primeiro, instrumento que ajudou o ser humano no processo de contagem, foram os dez dedos das mãos. Com eles podia contar todos os seus pertences.

O Sistema de numeração decimal ou de base dez, utiliza dez símbolos, chamados algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , daí o nome decimal. Com esse dez símbolos é possivel representar qualquer quantidade. Embora seja o sistema de numeração mais em uso atualmente, nem sempre foi assim. Houve uma época em que o sistema utilizado era de base sessenta. Prova disso é que, ainda hoje, contamos o tempo nessa base: 1 hora é igual a 60 minutos, 1 minuto vale 60 segundos. Também as medidas angulares são um resquício dessa época.

Nos dias de hoje, tão importante quanto o Sistema decimal é o Sistema binário. Nesse sistema utilizam-se apenas dois elementos: 0 e 1.  Na tabela a seguir mostramos os números de 0 a 20, escritos no Sistema Decimal e a correspondente forma de escrevê-los no Sistema Binário, utilizando apenas zeros e uns.

Sistema Decimal	Sistema Binário	Sistema Decimal	Sistema Binário
0	0	11	1011
1	1	12	1100
2	10	13	1101
3	11	14	1110
4	100	15	1111
5	101	16	10000
6	110	17	10001
7	111	18	10010
8	1000	19	10011
9	1001	20	10100
10	1010

 

Um circuito elétrico é um conjunto de dispositivos interligados eletricamente que trabalha em dois estados: energizado ou não energizado. Uma lâmpada conectada a uma bateria, constitui um exemplo simples de circuito elétrico. Nesse circuito, a lâmpada poderá estar acesa (energizada) ou apagada (não energizada). 

A importância do Sistema binário de numeração, reside no fato de que os computadores, que internamente são formados por milhares de circuitos elétricos, operam, a grosso modo, tal qual o exemplo citado da lâmpada, ou seja, cada um de seus circuitos poderá estar energizado ou não energizado, e a cada um desses estados associa-se um dos elementos: 0 (condição de não energizado) ou 1 (condição de energizado).

Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term) e um conjunto de 1024 bytes forma um Kilobyte (ou Kbyte). O número 1024 foi escolhido pois é a potência de 2 mais próxima de 1000.

A tabela seguinte apresenta algumas das unidades do sistema binário comuns em linguagem computacional e seus respectivos símbolos e valores.

Unidade	Símbolo	Valor
1 bit	b	1 ou 0
1 Byte	B	8 bits
1 Kilobyte	KB	1024 bytes	210 bytes
1 Megabyte	MB	1024 kilobytes	220 bytes
1 Gigabyte	GB	1024 megabytes	230 bytes
1 Terabyte	TB	1024 gigabytes	240 bytes
1 Petabyte	PB	1024 terabytes	250 bytes
1 Exabyte	EB	1024 petabytes	260 bytes
1 Zettabyte	ZB	1024 exabytes	270 bytes
1 Yottabyte	YB	1024 zettabytes	280 bytes

 

Aprenda um pouco mais, assistindo ao vídeo a seguir:

 

Francisco Ismael Reis

31/12/2008

Um exercício de probabilidade

 

O exercício a seguir me foi proposto pelo Sammy Sikri, um aluno meu do 3° ano do Ensino Médio do Colégio Iavne, que o encontrou navegando por uma das muitas páginas da Internet.

• O enunciado:

Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, seu número é anotado e a bola é devolvida à urna. Esse mesmo procedimento é repetido mais duas vezes. Seja X o número anotado após a primeira retirada, Y o número anotado após a segunda e Z o número anotado após a terceira. Qual é a probabilidade de que o número  seja  par?

 

• A solução:

Define-se probabilidade como sendo a relação (razão) que existe entre o número de situações favoráveis à ocorrência de determinado evento e o número de situações possíveis, portanto:

 

Repare que o número X.Y + Z é constituído pelo produto de dois números e pela soma de dois números, Temos, portanto, que determinar em que condições o produto de dois números resulta em um número par, e em que condições a soma de dois números resulta em um número ímpar.

A soma de dois números é par, se os dois números forem pares ou se um for par e o outro ímpar. Por outro lado, o produto de dois números é par se os dois números forem pares ou ímpares.

Ao retirarmos uma bolinha da urna temos que a probabilidade de nela estar assinalado um número par é 2/5 e a probabilidade de nela estar assinalado um número ímpar é 3/5.

Vamos, então, montar a seguinte tabela de possibilidades, com as respectivas probabilidades:

• P: representa par;
• I: representa ímpar.

X	Y	Z
P	P	P
I	P	P
P	I	P
I	I	I

Total

 

 

Logo, a probabilidade de que o número X . Y + Z seja par é

 

Valeu pelo interesse, Sammy.

 

Francisco Ismael Reis.

18/03/2009

A Matemática das borboletas

 

Asseguram os naturalistas que certas borboletas ostentam, em suas asas, números expressos por algarismos indo-arábicos. Essas curiosas borboletas quando voam levam a Matemática para o céu.

A mais curiosa das borboletas  matemáticas é a dirphia Sabina Walker que ostenta, em suas asas, o algarismo 1 em preto. Essa borboleta tem a preocupação de ser a nº 1 entre os coleópteros.

Borboleta interessante é a chamada Callicore Peruviana que pode ser encontrada facilmente no Paraná e em Minas Gerais. A Callicore apresenta um 88 numa asa e outro 88 na outra as. A repitição é certa, pois as asas das borboletas são rigorosamente simétricas. O desenho de uma asa é exatamente igual ao desenho da outra asa.

Esta bela e curiosa borboleta que os naturalistas denominam Catagramma sorana Godt mostra-nos em cada asa um oitenta com os dois algarismos bem destacados. O matemático diria: 80 de um lado, e 08 do outro. O nome Catagramma deriva-se do grego Kata (sôbre) e gramma (carta).

Essa borboleta vem provar que o zero à esquerda de um número pode ter uma significação especial.

Tahn, Maba. As maravilhas da Matemática, p.206. Ed. Bloch, 1973.

Por que sempre resulta em 1089?

Na postagem intitulada Um número mágico mostrei uma brincadeira feita com qualquer número de três algarismos distintos, que sempre resultava em 1089, independentemente da escolha feita.

 

Nesta postagem vou demosntrar porque isso sempre ocorre.

Consideremos M um número de 3 algarismos distintos (abc) com a representando o algarismo das centenas, b o algarismo das dezenas e c o algarismo das unidades.

M pode ser escrito como:

M = 100a + 10b + c

Consideremos, agora, o número N formado pelos mesmos algarismos que M, porém escritos na ordem inversa (contrária).

N pode ser escrito:

N = 100c + 10b + a

Supondo que M > N, temos que a > c visto que a e c representam as centenas de M e N, respectivamente.

Subtraindo N de M, ficamos com:

M – N = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)

M – N = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a

M – N = 99a – 99c

M – N = 99(a – c)

Essa diferença será tratada como um número de três algarismos (mnp) e é sempre um múltiplo de 99 e portanto um múltiplo de 9.

Observe que tanto no número M, quanto no número N, o algarismo b, das dezenas, não muda de posição. Como a > c, então o algarismo das dezenas n da diferença entre M e N (mnp) será sempre igual a 9 (n = 9). Por outro lado, se um número é divisível por 9 a soma de seus algarismos é também um número divisível por 9, de onde se conclui que m + p = 9.

Vamos, neste momento, somar o resultado da diferença entre M e N, representada pelos algarismos mnp, com o número escrito na ordem inversa pnm e chamar de F a esse resultado.

F = 100m + 10n + p + 100p + 10n +m

F = 100(m + p) + 20n + (m + p)

F = 100 × 9 + 20 × 9 + 9

F = 900 + 180 + 9

F = 1089

c.q.d.

 

Francisco Ismael Reis

21/02/2009

Gerando cônicas

 

As secções cônicas começaram a ser estudadas no século III a.C., na Grécia Antiga. Foi  Apolônio de Perga ( 262 a.C. - 190 a.C.) um dos grandes nomes da Matemática e da Astronomia da época, quem mais se empenhou para o desenvolvimento dos conceitos das secções cônicas, devendo-se a ele a idéia de que as cônicas podem ser obtidas a partir de um único sólido, o cone duplo ou cone de duas folhas, mediante as secções planas obtidas neste cone quando feitas por um plano.

A figura abaixo, ilustra de maneira dinâmica essas secções. Repare que:

• Quando o plano seccionante se encontra numa posição paralela à base do cone, a cônica obtida é um círculo.
• Se esse plano não passa pelo vértice e não é paralelo a nenhuma geratriz do cone, a curva obtida é a elipse.
• Se, por outro lado, esse plano interceptar apenas um dos cones, paralelamente à geratriz do cone, a curva obtida é a parábola.
• Teremos uma hipérbole quando o plano em questão interceptar os dois cones.

 

 

  As curvas cônicas podem ser encontradas com grande facilidade na Natureza. A Astronomia, em especial, se serviu muito do estudo das cônicas para explicar a órbita elíptica dos planetas.

 

O jato de água que sai de um esguicho e a trajetória de um projétil disparado por um canhão têm a forma de uma parábola.

 

 

Quando se lança uma pedra perpendicularmente à superfície de um lago, o efeito produzido sobre a água é o de circunferências concêntricas.

 

 

Para saber mais, consulte o site abaixo.

http://mathdemos.gcsu.edu/mathdemos/family_of_functions/conic_gallery.html

 

Francisco Ismael Reis (15/12/2008).

Números notáveis

O texto a seguir, representa a tradução do vídeo. Acompanhe.

Os números estão presentes em nosso cotidiano. Porém, os números que utilizamos são, normalmente, de uma classe reduzida. Existem outras classes de números, e alguns são famosos.

Números notáveis

As primeiras idéias de quantidade ocorreram ao observar a natureza e distinguir, por exemplo, duas pedras, quatro pássaros, sete árvores, etc. Por isso, os primeiros números foram os Números Naturais: o 1, o 2, o 3, o 4, o 7, ...
O mais importante de todos eles é o 1, porque se não existisse, os outros números tampouco existiriam.
Na idade média, o matemático árabe al-Khwarizmi introduziu um número singular: o zero.
Originariamente, procedia da Índia: ali era chamado sunya. Os árabes o denominavam sifr. Desses termos provêem as palavras atuais zero e cifra.
No Renascimento, o mundo dos números consistia nos números naturais, no zero e nos números negativos. Todos juntos formavam os Números Inteiros. E com os fracionários formavam os Números Racionais.
Vamos dar um salto através do tempo. Este é Pitágoras, o sábio grego. Pitágoras dizia que os números eram a essência e  a explicação de todas as coisas.
Porém esta teoria foi deixada de lado ao se comprovar que a diagonal de um quadrado, uma figura bem comum, não se podia expressar com os números de então.
Os números como a raiz quadrada de 2 se denominam Irracionais. Junto com os Racionais, formam o que se conhece como Números Reais.
Existe uma maneira prática de representar os Números Reais: esta reta numérica.
Existem alguns bastante relevantes, por exemplo, o número pi.
Pi é a constante que aparece no cálculo do perímetro e da área de um círculo. Também aparece em cálculos geométricos relacionados com o círculo. Por exemplo, em figuras como a elipse, a esfera, o cone ...
Pi se encontra, também, em inúmeras fórmulas da Matemática e da Física. É um número que fascina há séculos. Os primeiros a estudá-lo foram os babilônios e, em particular, os egípcios.
Os gregos lhe deram o nome e precisaram seu cálculo.
No século XVII era conhecido com uma aproximação bastante boa. Atualmente os computadores o calculam com uma precisão de mais de um bilhão de dígitos. Porém nunca se encontrou nem se encontrará um padrão.
Voltemos à reta numérica. Próximo do pi existe outro número notável, o número e, que também nunca se terminará seu cálculo.
O número e, do qual se conhecem também milhões de dígitos, aparece em vária fórmulas matemáticas e se relaciona com a evolução de fenômenos que aumentam a grande velocidade, a velocidade chamada exponencial ( daí o temo e).
Voltemos à reta dos números reais. Encontramos a raiz quadrada de 2, de 3, de 5, ... , ou seja, raízes de números positivos.
E não se pode extrair a raiz de um número negativo? Pode, porém o resultado é um número que não se encontra na reta, não é um número real.
O filósofo francês René Descartes lhe deu um nome adequado: Número Imaginário.
Assim como o zero e os números negativos, os números imaginários parecem fora da realidade, porém, muito pelo contrário, fazem parte dela.. Aparecem em numerosos campos da Engenharia e da Física: a automação, a cartografia, o eletromagnetismo, a mecânica quântica, ...
Os números imaginários se representam com a ajuda de uma reta perpendicular à reta dos reais.
Este é o plano numérico com todos os números conhecidos.
Leonard Euler, foi um matemático Suíço  que se dedicou intensamente a estudar os números. Pois bem, entre suas contribuições existe uma equação que reúne exatamente os números 1, 0, pi, e e o imaginário.
Para alguns esta é a fórmula mais importante da Matemática. No mínimo um resumo do mundo dos números e de seus personagens principais.