terça-feira, 10 de março de 2009

Por que sempre resulta em 1089?

Na postagem intitulada Um número mágico mostrei uma brincadeira feita com qualquer número de três algarismos distintos, que sempre resultava em 1089, independentemente da escolha feita.

1089 

Nesta postagem vou demosntrar porque isso sempre ocorre.

Consideremos M um número de 3 algarismos distintos (abc) com a representando o algarismo das centenas, b o algarismo das dezenas e c o algarismo das unidades.

M pode ser escrito como:

M = 100a + 10b + c

Consideremos, agora, o número N formado pelos mesmos algarismos que M, porém escritos na ordem inversa (contrária).

N pode ser escrito:

N = 100c + 10b + a

Supondo que M > N, temos que a > c visto que a e c representam as centenas de M e N, respectivamente.

Subtraindo N de M, ficamos com:

M – N = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)

M – N = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a

M – N = 99a – 99c

M – N = 99(a – c)

Essa diferença será tratada como um número de três algarismos (mnp) e é sempre um múltiplo de 99 e portanto um múltiplo de 9.

Observe que tanto no número M, quanto no número N, o algarismo b, das dezenas, não muda de posição. Como a > c, então o algarismo das dezenas n da diferença entre M e N (mnp) será sempre igual a 9 (n = 9). Por outro lado, se um número é divisível por 9 a soma de seus algarismos é também um número divisível por 9, de onde se conclui que m + p = 9.

Vamos, neste momento, somar o resultado da diferença entre M e N, representada pelos algarismos mnp, com o número escrito na ordem inversa pnm e chamar de F a esse resultado.

F = 100m + 10n + p + 100p + 10n +m

F = 100(m + p) + 20n + (m + p)

F = 100 × 9 + 20 × 9 + 9

F = 900 + 180 + 9

F = 1089

c.q.d.

 

Francisco Ismael Reis

AssinaturaFundoCla

21/02/2009

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