O Homem Vitruviano

O Homem Vitruviano é um desenho famoso que acompanhava as notas que Leonardo da Vinci fez ao redor do ano 1490 num dos seus diários. Descreve uma figura masculina desnuda separadamente e simultaneamente em duas posições sobrepostas com os braços inscritos num círculo e num quadrado. A cabeça é calculada como sendo um décimo da altura total. Às vezes, o desenho e o texto são chamados de Cânone das Proporções.

O desenho atualmente faz parte da colecção/coleção da Gallerie dell'Accademia (Galeria da Academia) em Veneza, Itália.
Examinando o desenho, pode ser notado que a combinação das posições dos braços e pernas formam quatro posturas diferentes. As posições com os braços em cruz e os pés são inscritas juntas no quadrado. Por outro lado, a posição superior dos braços e das pernas é inscrita no círculo. Isto ilustra o princípio que na mudança entre as duas posições, o centro aparente da figura parece se mover, mas de fato o umbigo da figura, que é o verdadeiro centro de gravidade, permanece imóvel.

O Homem Vitruviano é baseado numa famosa passagem do arquitecto/arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, em que ele descreve as proporções do corpo humano:

• Um palmo é a largura de quatro dedos.
• Um pé é a largura de quatro palmos.
• Um antebraço é a largura de seis palmos.
• A altura de um homem é quatro antebraços (24 palmos).
• Um passo é quatro antebraços.
• A longitude dos braços estendidos de um homem é igual à altura dele.
• A distância entre o nascimento do cabelo e o queixo é um décimo da altura de um homem.
• A distância do topo da cabeça para o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem.
• A distância do nascimento do cabelo para o topo do peito é um sétimo da altura de um homem.
• A distância do topo da cabeça para os mamilos é um quarto da altura de um homem.
• A largura máxima dos ombros é um quarto da altura de um homem.
• A distância do cotovelo para o fim da mão é um quinto da altura de um homem.
• A distância do cotovelo para a axila é um oitavo da altura de um homem.
• A longitude da mão é um décimo da altura de um homem.
• A distância do fundo do queixo para o nariz é um terço da longitude da face.
• A distância do nascimento do cabelo para as sobrancelhas é um terço da longitude da face.
• A altura da orelha é um terço da longitude da face.

O redescobrimento das proporções matemáticas do corpo humano no século XV por Leonardo e os outros é considerado uma das grandes realizações que conduzem ao Renascimento italiano.
O desenho também é considerado freqüentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, para extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica 'a área total do quadrado e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional 'pi'.



Retirado de "http://pt.wikipedia.org/wiki/Homem_Vitruviano"

Multiplicação russa

Os antigos camponeses russos utilizavam-se de um processo curioso para obter o produto de dois números. Vamos através da multiplicação de 42 por 31, ilustrar essa téc­nica.
Colocamos os fatores um ao lado do outro. Em seguida dividimos o primeiro fator por 2 (42 : 2 = 21) e multiplicamos o segundo fator por 2 (31 . 2 = 62), escrevendo os resul­tados em baixo dos fatores correspondentes.
Repetimos o processo com os resulta­dos obtidos. Como 21 é ímpar, antes de dividi-lo por 2, subtraímos do mesmo 1 unidade e só então efetuamos a divisão com o resultado encontrado (20 : 2 = 10) e (62 . 2 = 124). Ao escrevermos os resultados, fazemos uma marca ao lado do número 62, que se encontra na coluna da direita, para indicar que o mesmo é o correspondente de um valor ímpar, na co­luna da esquerda.
O processo termina quando na coluna da esquerda encontramos o valor 1.
Somamos os valores da coluna da direita que se encontram assinalados:
62 + 248 + 992 = 1302
O resultado obtido, curiosamente, é o resultado da multiplicação de 42 por 31.
Experimente com outros números.



Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática Vol. 5 , Editora Moderna, 1996.

Multiplicando com as mãos

A multiplicação utilizando os dedos das mãos é um processo antigo, interessante e relativamente simples, sendo utilizado quando se quer multiplicar dois números compreendidos entre 6 e 10, inclusive.
Para entender o processo, coloque suas mãos abertas, voltadas para você e numere, mentalmente, seus dedos, conforme é mostrado na foto 1 ao lado.
Em cada uma das mãos representamos um número dobrando determinada quantidade de dedos. O número 7, por exemplo, é representado, dobrando-se os dedos 6 e 7, já o número 9 é representado dobrando-se os dedos 6, 7, 8 e 9.
Multipliquemos, por exemplo, 7 por 8.
Vamos indicar na mão esquerda o fator 7, dobrando os dedos 6 e 7. Na mão direita, vamos indicar o fator 8, dobrando os dedos 6, 7 e 8, conforme mostra a foto 2.
Os dedos dobrados, devem ser somados e representam dezenas.
No nosso exemplo: 2 + 3 = 5 dezenas, portanto 50 unidades.
Os dedos levantados, em cada mão, devem ser multiplicados e representam unidades.
No nosso exemplo: 3 x 2 = 6 unidades.
Somando os dois resultados (50 + 6), obtemos a resposta procurada, ou seja:
7 x 8 = 56.
Experimente, agora, fazer com outros valores.


Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática Vol. 5, Editora Moderna, 1996.

Numerais antigos

A idéia de número é muito antiga e surgiu da necessidade que as pessoas tinham de contar objetos e coisas.
A contagem era feita, no inicio da humanidade, usando-se os dedos das mãos e dos pés, montes de pedras, nós em uma corda, marcas num bastão ou num osso, etc.
Para contar as ovelhas de seu rebanho, os dedos das mãos e dos pés não bastavam a um pastor, por isso passou a contá-las com o auxílio de pedras que colocava em um saquinho.
Com o passar do tempo e o aparecimento da escrita, a necessidade fez com que se criassem símbolos (desenhos) para representar a quantidade de objetos de uma coleção.
Os numerais egípcios, por exemplo, datam de cerca de 3500 anos antes de Cristo e baseava-se em sete símbolos:





Pela repetição desses símbolos, o numeral do número 13 254, se escrevia assim:


Os numerais gregos aparecem em inscrições que datam de cerca de 400 anos antes de Cristo e utilizavam os seguintes símbolos:


Os gregos adotaram uma forma interessante de escrever os numerais dos números 50, 500, 5000 e 50000, combinando os símbolos para 5, 10, 100, 1000 e 10000, conforme se mostra abaixo:




Tente agora escrever o numeral do número 1996 utilizando os numerais egípcios e os numerais gregos vistos acima.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática Vol. 5, Editora Moderna, 1996.

Como estudar Matemática?

Somente se aprende Matemática exercitando o pensamento Matemático.

Estudar Matemática é um procedimento que varia de aluno para aluno conforme os hábitos, as predisposições, as capacidades, as motivações, os interesses e os conhecimentos de cada um. Cada aluno deve, portanto, testar alguns procedimentos e adotar aquele que melhor se adapte às suas necessidades.
Alguns procedimentos, que certamente irão ajudá-lo, podem ser recomendados:

• Nunca deixe acumular matéria.
  
  Para saber é necessário estudar com regularidade, persistência e dedicação. Não basta estudar na véspera de uma prova. Os conceitos matemáticos não se aprendem de um momento para o outro e exigem um tempo para que sejam devidamente assimilados. São a regularidade do estudo e a persistência que reforçam o conhecimento.
  
• Não se deixe enganar “copiando” as tarefas de seus colegas.
  

Quem usa esse recurso:

• Não desenvolve o seu raciocínio;
• Não adquire poder crítico;
• Não investe em si mesmo;
• Perde a auto-confiança e a auto-estima levando-o a se achar um incompetente para resolver as tarefas e os problemas do dia-a-dia;
• Não se esforça pelo que deseja mas apóia-se nos outros para atingir os seus objetivos;
• Diminui as suas capacidades;
• Torna-se gradualmente passivo;
• É banalizado por aqueles que fazem;
• Não decide por si, mas pelos outros.
  

Como se estuda então Matemática?
Antes de mais nada com lápis e papel ao seu lado.

Na sala de aula:

• Procure retirar todas as dúvidas surgidas;
• Mantenha-se sempre muito atento à aula;
• Mantenha o caderno sempre atualizado e com boa apresentação;
• Esforce-se por anotar tudo, desde o que está escrito no quadro ao que o professor diz, destacando os pontos mais importantes;
• Não se distraia, nem aos colegas. A falta de atenção é a maior responsável pelo insucesso.
  

Em casa:

• Estude diariamente, procurando um local de estudo apropriado, sossegado e deixando sempre algum tempo para o lazer;
• Concentre-se no assunto que está estudando. A televisão, rádio, telefone e similares são fatores que diminuem muito o poder de concentração;
• Leia em voz alta. É um ótimo procedimento para você se concentrar;
• Comece por resolver os problemas mais simples e depois parta para os mais difíceis. Não tente resolver os exercícios antes de ter estudado devidamente a matéria, olhando com atenção as anotações e os exercícios feitos em sala de aula;
• Não é aconselhável resolver muitos problemas do mesmo tipo. Preocupe-se antes com os exercícios que ainda não sabe resolver. A mecanização é fator secundário, a compreensão é o principal.
  
  Prof. Francisco Ismael Reis

02/11/2008

Matemática. Por que ensinar? Por que aprender?

A Matemática é uma disciplina que faz parte de todos os sistemas educacionais conhecidos. Este fato decorre da necessidade cotidiana que o ser humano tem de medir, comparar, quantificar, analisar. Nenhuma religião, nenhuma língua, nenhuma medicina se universalizou. A Matemática, entretanto, identificada como sendo a ciência do pensamento lógico e racional é a mesma para toda a humanidade, adquirindo, por esse motivo, o caráter da universalidade. O ser humano é um ser racional, e esta já seria, por si só, uma razão suficiente, ainda que romântica, para se ensinar e aprender Matemática.
Como motivos práticos, que justificam o aprendizado da Matemática, podemos destacar que ela:

• nos ajuda a pensar e a ordenar de maneira lógica o raciocínio;
  
  
• é um instrumento indispensável para outras ciências, como a Física, a Química, a Astronomia, a Biologia, a Engenharia, a Medicina, etc.;
  
  
• nos capacita, através da análise e da interpretação dos fatos, a resolver as diferentes situações que se nos apresentam no dia a dia.

Transcreveu Malba Tahan em seu livro As Maravilhas da Matemática, o trecho abaixo de autoria de Edward Everett (1794 - 1865) em Orações e Discursos:
"A Matemática existiu não unicamente nos domínios da Metafísica, mas na simples contemplação real da razão suprema. A razão humana, em sua inspiração, percorrendo toda natureza e a vida em busca de imaginação para expressar a sabedoria e o poder de Deus, encontra a Matemática simbolizada no engenho da obra do Criador. “Deus dimensionou os céus como se usasse régua e compasso”. E um sábio antigo, sem falsidade ou irreverência, ousou dizer: “Deus é um geômetra.”

 

Francisco Ismael Reis

01/11/2008