sábado, 31 de janeiro de 2009

Números amigos

O dicionário Aurélio define assim a palavra amigo:

amigo
[Do lat. amicu.] Adjetivo.
1.Que é ligado a outrem por laços de amizade;
2.Em que há amizade; amical, amistoso;
3.Simpático, acolhedor ...

 
Consideremos os números 220 e 284. Quais serão os "laços de amizade" que unem estes dois números?

Para responder a essa pergunta vamos construir a tabela a seguir  e nela colocar  todos os divisores próprios de cada número seguidos das respectivas somas:

Divisores próprios
(todos os divisores do número exceto o próprio número)

 

220

284

  1 1
  2 2
  4 4
  5 71
  10 142
  11  
  20  
  22  
  44  
  55  
  110  
Soma

284

220

 

Observe que:

– a soma dos divisores próprios do número 220 é 284

– a soma dos divisores próprios do número 284 é 220.

Este é o "laço de amizade" que une os números 220 e 284, e por esse motivo eles são chamados de números amigos.

Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro.

 

A descoberta desse par de números amigos (220 e 284) é atribuída a Pitagoras (séc. V a.C.). Para os Pitagóricos, os números amigos simbolizavam a harmonia mútua, a amizade perfeita e o amor.

Outros matemáticos de renome, como Pierre de Fermat  (1601-1665) e Leonard Euler (1707-1783) dedicaram-se ao estudo dos números amigos. Fermat descobriu os pares 17 296 e 18 416. Na verdade uma redescoberta, uma vez que ao final do sév XIII o árabe Ibn al-Banna (1256-1321) havia encontrado o mesmo par de números. Euler publicou em 1747 uma lista de trinta pares de números amigos.

Assista ao vídeo a seguir e fique sabendo um pouco mais sobre números.

 

Francisco Ismael Reis .

AssinaturaFundoCla

(30/12/2008)

O princípio da casa dos pombos

Imagine-se sentado tranquilamente no banco de uma praça apreciando o movimento à sua volta. Ao seu redor um bando de pombos debica pelo chão, alimentando-se de pequenos grãos.
Com o propósito de ajudar a passar o tempo, você conta esses pombos. São 31.
PombalNum dos cantos da praça, sobre um pequeno pedestal, você observa um pombal, constituído por 30 casinhas, e que no momento encontram-se todas vazias.
De repente, a tranquilidade da praça é quebrada por alguém que a atravessa correndo e gesticulando muito, assustando os pombos, que voam todos para se esconder nas casinhas do pombal.
Ora, os pombos são em número de 31 e as casinhas 30. Se todos os pombos conseguiram abrigo nas casinhas, não é necessário ser um gênio para se deduzir que pelo menos dois  pombos ocupam a mesma casinha. Pois bem, este fato,  aparentemente banal, é conhecido em Matemática como princípio da casa dos pombos ou princípio de Dirichlet.

Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13  de fevereiro de 1805, Düren - 5 de maio de 1859, Göttingen) foi um matemático alemão a quem se atribui a moderna definição formal de função.[1]
Foi Dirichlet, que no ano de 1834, o primeiro a apresentar este princípio, razão pela que o mesmo leva seu nome.
Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, este princípio é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Veja a seguir dois exemplos simples de aplicação do princípio da cas dos pombos.

1. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo mês?
Pelo princípio da casa dos pombos, havendo mais pessoas do que meses, é certo que pelo menos duas farão aniversário no mesmo mês. Portanto, como o número de meses é 12, é necessário que tenhamos 13 pessoas.

2. É possível demonstrar que existem sobre a Terra, pelo menos, duas pessoas que tenham o mesmo número de cabelos sobre a cabeça?
Estudos mostram que, em média, uma pessoa tem 150 000 fios de cabelo na cabeça. Podemos, então, formar 150 001 grupos de pessoas, desde os que não têm nenhum fio de cabelo na cabeça (os carecas) até àqueles que têm 150 000. Como a população da Terra é muito maior que 150 000 pessoas, o princípio da casa dos pombos nos assegura que existirão pelo menos duas pessoas com a mesma quantidade de cabelos sobre a cabeça.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla 
(13/12/2008)

_____________

[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Dirichlet

Sobre cônicas

 

Um repouso de dezoito séculos

Embora estudadas pelo geômetra grego Apolônio de Pérgamo, que viveu no século III a.C., as cônicas só foram encontrar aplicação quando o alemão Kepler, em 1609, enunciou suas leis. Entre o seu estudo, por Apolônio, e a sua aplicação, por Kepler, as cônicas tiveramum repouso de dezoito séculos. Foi um longo e bem merecido repouso.

 

As curvas definidas geometricamente e que só podem ser cortadas por uma reta qualquer de seu plano, em dois pontos reais ou imaginários, denominam-se curvas de segunda ordem ou do segundo grau.

Cônicas 

Essas curvas – círculo, elipse, hipérbole e parábola (veja a foto acima) – são também denominadas cônicas, pois qualquer uma delas pode ser obtida por meio de uma seção plana feita no cone de revolução.

Conicas0001

Vemos, na figura ao lado, um cone (de duas folhas) cortado de maneiras diferentes por um plano.

Se o plano cortar o cone no vértice vamos obter um ponto. Êsse ponto será o círculo degenerado ou uma elipse degenerada. Mas mesmo assim é, para o matemático, uma cônica. Sim, uma cônica degenerada.

Os planetas descrevem, em torno do Sol, elipses. O Sol ocupa precisamente um dos focos da elipse, que define a trajetória do planeta.

Há planetóides cujas órbitas têm excentricidade tão pequena que são consideradas como circulares. Já foi observado um cometa com órbita parabólica. Esse cometa (com órbita parabólica) passou uma vez nas vizinhanças do Sol e seguiu a sua jornada pelo infinito, para nunca mais voltar. Sim, caminha para o infinito, mas continua sua órbita, acompanhando o Sol.

Eis o que escreveu o poeta goiano Geraldo Vale, assegurando que os planetas jamais estudaram Geometria:

E estes mundos cegos, inconscientes, gravitando
em parábolas, em círculos, em elipses,
com perfeita harmonia e grandiosa beleza
e jamais estudaram Geometria?

Vemos, assim, que as cônicas são curvas tão notáveis e interessantes que despertam até a atenção dos poetas.

Do cilindro, por meio de uma transformação muito simples, podemos passar para o cone. E isso graças a um artifício bastante curioso.

A figura abaixo nos mostra três superfícies do segundo grau com indicação de suas geratrizes retilíneas: o cilindro de base circular, o hiperbolóide de uma folha e o cone. Vemos que as duas folhas do cone são separadas por um ponto que é o vértice. É o caso em que o ponto separa as duas superfícies.

Conicas0002

Sendo as geratrizes formadas por fios bem finos, podemos, por uma simples torção da base superior do cilindro, obter as outras superfícies, como indica a figura acima.

Estudadas por Apolônio, na Antigüidade, só foram as cônicas despertar a atenção dos homens com Kepler, quando este astrônomo alemão formulou as suas leis. Entre Apolônio e Kepler houve um intervalo de dezoito séculos.

Lidemos, pois, com as cônicas. Estudemos as suas propriedades. Vejamos quais são as suas aplicações. Elas precisam agir. Já tiveram um repouso de mil e oitocentos anos.

 

 

Malba Than, As maravilhas da Matemática, Editora Record, 1973.

terça-feira, 30 de dezembro de 2008

Números perfeitos

Os divisores do número 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Excluindo-se desse conjunto de divisores o número 28, os que sobram, ou seja, 1, 2, 4, 7 e 14, são chamados de divisores próprios do número 28, portanto:

Os divisores próprios de um número inteiro e positivo são todos os divisores desse número diferentes do próprio número.

 

Ainda no caso do número 28, observe que a soma de seus divisores próprios, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , vale 28. Quando issso ocorre, dá-se a esse número o nome de número perfeito, logo:

Número perfeito é aquele número inteiro e positivo cuja soma dos divisores próprios é igual a esse número.

 

Além dos números perfeitos, existem também as denominações de números deficientes e números abundantes.

Um número é deficiente quando a soma de seus divisores próprios é menor que o número. Um exemplo de número deficiente é o 15. Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15. Seus divisores próprios são 1, 3 e 5. Observe que 1 + 3 + 5 = 9,  que é menor que 15. Logo, o número 15 é um número deficiente.

Se, por outro lado, a soma dos divisores próprios de um número é maior que esse número, o mesmo é chamado de número abundante. É o caso do número 18, que tem como divisores os números 1, 2, 3, 6, 9 e 18. A soma de seus divisores próprios vale 21, portanto maior que 18.

Os quatro primeiros números perfeitos: 6, 28, 496 e 8128, já eram conhecidos na Grécia Antiga e Euclides (360 a.C. — 295 a.C.) mostrou ser possível obtê-los pela fórmula :

2p – 1. (2p – 1)

na qual p é um número primo e o segundo fator, (2p – 1), deve resultar em um número primo.

De fato, a fórmula se apresenta verdadeira para os quatro primeiros números perfeitos, veja:


para p= 2 –> 21(22 - 1) = 6
para p = 3 –>  22(23- 1) = 28
para p = 5 –> 24(25 - 1) = 496
para p = 7 –> 26(27 - 1) = 8.128

 

Era de se esperar que com essa fórmula fosse possível obter qualquer número perfeito. A linha de raciocínio era a seguinte :

– se ela nos fornece o primeiro número perfeito (6) ao utilizarmos nela o primeiro número primo (p = 2);

– se ela nos fornece o segundo número perfeito (28) ao utilizarmos o segundo número primo (p = 3);

– então,  será de se esperar que o quinto número perfeito seja obtido ao utilizarmos nela o quinto número primo (p = 11). 

Porém, nesse ponto, a fórmula falha, uma vez que para p = 11, o segundo fator da fórmula fica:

211 - 1 = 2047

e 2047 não é um número primo, visto que é o produto de 23 por 89. (Vale relembrar que o segundo fator da fórmula, deve resultar em número primo).

Brinque um pouco com o joguinho a seguir:

 

 

Para melhor visualização do jogo, clique no link a seguir:

 http://nautilus.fis.uc.pt/mn/perfeitos/index.html

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla 
29/12/2008

sábado, 27 de dezembro de 2008

A Matemática e a Música

Compartilhe na companhia do Pato Donald, esta divertida aula de Matemática e Música.

 

Donald no país da matemágica de Walt Disney.

Veja também as seguintes postagens:

Pitágoras e os números irracionais

Os pitagóricos e os números

segunda-feira, 22 de dezembro de 2008

O tesouro de Bresa

Houve outrora, na Babilônia, um pobre e modesto alfaiate chamado Enedim, homem inteligente e trabalhador, que não perdia a esperança de vir a ser riquíssimo. Como e onde, no entanto, poderia encontrar um tesouro fabuloso e tornar-se assim, rico e poderoso?

bau3 Um dia, parou na porta da sua humilde casa, um velho mercador vindo da Fenícia, que vendia uma infinidade de objetos extravagantes. Por curiosidade, Enedim começou a examinar as bugigangas oferecidas, quando descobriu, entre elas, uma espécie de livro de muitas folhas, onde se viam caracteres estranhos e desconhecidos. Era uma preciosidade aquele livro, afirmava o mercador, e custava apenas três dinares. Era muito dinheiro para o pobre alfaiate, razão pela qual o mercador concordou em vender-lhe o livro por apenas dois dinares.
Logo que ficou sozinho, Enedim tratou de examinar sem demora, o bem que havia adquirido. Qual não foi a sua surpresa quando conseguiu decifrar, na primeira página, a seguinte legenda: "O segredo do tesouro de Bresa". Que tesouro seria esse?

Enedim recordava vagamente de já ter ouvido qualquer referência a isto, mas não se lembrava onde, nem quando.

Mais adiante decifrou: "O tesouro de Bresa, enterrado pelo gênio do mesmo nome entre as montanhas do Harbatol, foi ali esquecido, e ali se acha ainda, até que algum homem esforçado venha encontrá-lo".

Muito interessado, o esforçado tecelão dispôs-se a decifrar todas as páginas daquele livro, para apoderar-se de tão fabuloso tesouro. Mas, as primeiras páginas eram escritas em caracteres de vários povos, o que fez com que Enedim estudasse os hieróglifos egípcios, a língua dos gregos, os dialetos persas e o idioma dos judeus. Em função disso, no final de três anos Enedim deixava a profissão de alfaiate e passava a ser o intérprete do rei, pois não havia na região ninguém que soubesse tantos idiomas estrangeiros. Passou a ganhar mais e a viver numa confortável casa.

Continuando a ler o livro encontrou várias páginas cheias de cálculos, números e figuras. Para entender o que lia, estudou matemática com os calculistas da cidade e, em pouco tempo, tornou-se grande conhecedor das transformações aritméticas. Graças aos novos conhecimentos, calculou, desenhou e construiu uma grande ponte sobre o rio Eufrates, o que fez com que o rei o nomeasse Presidente perfeito da Câmara local.

Ainda por força da leitura do livro, Enedim estudou profundamente as leis e princípios religiosos do seu país, sendo nomeado primeiro-ministro daquele reino, em decorrência do seu vasto conhecimento. Passou a viver em sumptuoso palácio e recebia as visitas dos príncipes mais ricos e poderosos do mundo.

Graças ao seu trabalho e ao seu conhecimento, o reino progrediu rapidamente, trazendo riquezas e alegrias para todo o seu povo. No entanto, ainda não conhecia o segredo de Bresa, apesar de ter lido e relido todas as páginas do livro.

Certa vez, teve a oportunidade de questionar um venerando sacerdote a respeito daquele mistério, que sorrindo esclareceu:

– O tesouro de Bresa já está em seu poder, pois graças ao livro você adquiriu grande saber, que lhe proporcionou os invejáveis bens que possui.
Afinal, Bresa significa "saber" e Harbatol quer dizer "trabalho". Com estudo e trabalho pode o homem conquistar tesouros inimagináveis.

O tesouro de Bresa é o saber, que qualquer homem esforçado pode alcançar, por meio de bons livros, que possibilitam "tesouros encantados" àqueles que se dedicam aos estudos com amor e tenacidade.

Malba Tahan, Os melhores contos.

O número 142857

Se o multiplicamos por 2,o produto é:

142857 x 2 = 285714

Os dígitos que formam o produto são os mesmos do número dado, com uma ordem diferente

Se o multiplicamos por 3, obtemos:

142857 x 3 = 428571

Vamos fazer a multiplicação por 4:

142857 x 4 = 571428

Da multiplicação por 5 resulta:

142857 x 5 = 714285

A multiplicação por 6 é:

142857 x 6 = 857142

Multiplicando-o por 7 chegamos a um resultado curioso:

142857 x 7 = 999999

Se o multiplicamos por 8 o produto é:

142857 x 8 = 1142856

Todos os algarismos do número original aparecem no produto, à exceção do 7, que se decompôs em duas partes: 6 e 1.

Por fim, ao multiplicar por 9 resulta:

142857 x 9 = 1285713

Podemos ver que o único dígito que não aparece é o 4, que aparece decomposto em duas partes: o 1 e o 3.

O número 142857 tem suficientes e relevantes propriedades para ser incluído entre os números mais curiosos que existem.

Existirão outros números como este?

Tirado do livro: "O Homem que Sabia Contar" de Malba Tahan

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