sábado, 31 de janeiro de 2009

O princípio da casa dos pombos

Imagine-se sentado tranquilamente no banco de uma praça apreciando o movimento à sua volta. Ao seu redor um bando de pombos debica pelo chão, alimentando-se de pequenos grãos.
Com o propósito de ajudar a passar o tempo, você conta esses pombos. São 31.
PombalNum dos cantos da praça, sobre um pequeno pedestal, você observa um pombal, constituído por 30 casinhas, e que no momento encontram-se todas vazias.
De repente, a tranquilidade da praça é quebrada por alguém que a atravessa correndo e gesticulando muito, assustando os pombos, que voam todos para se esconder nas casinhas do pombal.
Ora, os pombos são em número de 31 e as casinhas 30. Se todos os pombos conseguiram abrigo nas casinhas, não é necessário ser um gênio para se deduzir que pelo menos dois  pombos ocupam a mesma casinha. Pois bem, este fato,  aparentemente banal, é conhecido em Matemática como princípio da casa dos pombos ou princípio de Dirichlet.

Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13  de fevereiro de 1805, Düren - 5 de maio de 1859, Göttingen) foi um matemático alemão a quem se atribui a moderna definição formal de função.[1]
Foi Dirichlet, que no ano de 1834, o primeiro a apresentar este princípio, razão pela que o mesmo leva seu nome.
Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, este princípio é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Veja a seguir dois exemplos simples de aplicação do princípio da cas dos pombos.

1. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo mês?
Pelo princípio da casa dos pombos, havendo mais pessoas do que meses, é certo que pelo menos duas farão aniversário no mesmo mês. Portanto, como o número de meses é 12, é necessário que tenhamos 13 pessoas.

2. É possível demonstrar que existem sobre a Terra, pelo menos, duas pessoas que tenham o mesmo número de cabelos sobre a cabeça?
Estudos mostram que, em média, uma pessoa tem 150 000 fios de cabelo na cabeça. Podemos, então, formar 150 001 grupos de pessoas, desde os que não têm nenhum fio de cabelo na cabeça (os carecas) até àqueles que têm 150 000. Como a população da Terra é muito maior que 150 000 pessoas, o princípio da casa dos pombos nos assegura que existirão pelo menos duas pessoas com a mesma quantidade de cabelos sobre a cabeça.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla 
(13/12/2008)

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[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Dirichlet

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