quinta-feira, 14 de janeiro de 2010

Quanto vale a soma?

 

Durante uma das aulas em que o assunto eram as Progressões (Aritméticas e Geométricas), um aluno me propôs que calculasse o valor da soma da seguinte sequência:

clip_image002Embora os numeradores das frações formem uma P.A. de razão 1 e os denominadores uma P.G. de razão 3, a sequência em si não representa, nem uma P.A., nem uma P.G., por conseguinte, não se podem aplicar as fórmulas para a obtenção da soma de uma P.A. ou de uma P.G.

Como proceder, então?

Após alguns momentos de reflexão, pude observar que a sequência poderia ser reescrita da forma como mostro a seguir:

clip_image002[7]

Se observarmos as colunas, notaremos que as sequências que se formam, em cada uma delas, constituem Progressões Geométricas de razão igual a 1/3.

image

É possível, portanto, calcular a soma de cada uma dessas colunas, aplicando-se a fórmula da soma dos termos de uma P.G. infinita dada por:

clip_image002[10]

Assim sendo, para a:

  • Coluna 1

clip_image002[14]

  • Coluna 2

clip_image002[18]

  • Coluna 3

clip_image002[20]

A soma desejada S, corresponde à soma S1  + S2 + S3 + … , ou seja:

clip_image002[22]

que corresponde à soma de outra P.G. infinita, portanto:

clip_image002[24]

Consequentemente:

clip_image002[28]

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla

14/01/2010.

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