sábado, 28 de fevereiro de 2009

Gerando cônicas

 

As secções cônicas começaram a ser estudadas no século III a.C., na Grécia Antiga. Foi  Apolônio de Perga ( 262 a.C. - 190 a.C.) um dos grandes nomes da Matemática e da Astronomia da época, quem mais se empenhou para o desenvolvimento dos conceitos das secções cônicas, devendo-se a ele a idéia de que as cônicas podem ser obtidas a partir de um único sólido, o cone duplo ou cone de duas folhas, mediante as secções planas obtidas neste cone quando feitas por um plano.

A figura abaixo, ilustra de maneira dinâmica essas secções. Repare que:

  • Quando o plano seccionante se encontra numa posição paralela à base do cone, a cônica obtida é um círculo.
  • Se esse plano não passa pelo vértice e não é paralelo a nenhuma geratriz do cone, a curva obtida é a elipse.
  • Se, por outro lado, esse plano interceptar apenas um dos cones, paralelamente à geratriz do cone, a curva obtida é a parábola.
  • Teremos uma hipérbole quando o plano em questão interceptar os dois cones.

 

A geração das cônicas

 

  As curvas cônicas podem ser encontradas com grande facilidade na Natureza. A Astronomia, em especial, se serviu muito do estudo das cônicas para explicar a órbita elíptica dos planetas.

Órbita elíptica dos planetas

 

O jato de água que sai de um esguicho e a trajetória de um projétil disparado por um canhão têm a forma de uma parábola.

Fonte do Ibirapuera 

 

Quando se lança uma pedra perpendicularmente à superfície de um lago, o efeito produzido sobre a água é o de circunferências concêntricas.

Circunferências concêntricas 

 

Para saber mais, consulte o site abaixo.

http://mathdemos.gcsu.edu/mathdemos/family_of_functions/conic_gallery.html

 

Francisco Ismael Reis (15/12/2008).

AssinaturaFundoCla

segunda-feira, 23 de fevereiro de 2009

Números notáveis

Edu3.cat







O texto a seguir, representa a tradução do vídeo. Acompanhe.

Os números estão presentes em nosso cotidiano. Porém, os números que utilizamos são, normalmente, de uma classe reduzida. Existem outras classes de números, e alguns são famosos.

Números notáveis

As primeiras idéias de quantidade ocorreram ao observar a natureza e distinguir, por exemplo, duas pedras, quatro pássaros, sete árvores, etc. Por isso, os primeiros números foram os Números Naturais: o 1, o 2, o 3, o 4, o 7, ...
O mais importante de todos eles é o 1, porque se não existisse, os outros números tampouco existiriam.
Na idade média, o matemático árabe al-Khwarizmi introduziu um número singular: o zero.
Originariamente, procedia da Índia: ali era chamado sunya. Os árabes o denominavam sifr. Desses termos provêem as palavras atuais zero e cifra.
No Renascimento, o mundo dos números consistia nos números naturais, no zero e nos números negativos. Todos juntos formavam os Números Inteiros. E com os fracionários formavam os Números Racionais.
Vamos dar um salto através do tempo. Este é Pitágoras, o sábio grego. Pitágoras dizia que os números eram a essência e  a explicação de todas as coisas.
Porém esta teoria foi deixada de lado ao se comprovar que a diagonal de um quadrado, uma figura bem comum, não se podia expressar com os números de então.
Os números como a raiz quadrada de 2 se denominam Irracionais. Junto com os Racionais, formam o que se conhece como Números Reais.
Existe uma maneira prática de representar os Números Reais: esta reta numérica.
Existem alguns bastante relevantes, por exemplo, o número pi.
Pi é a constante que aparece no cálculo do perímetro e da área de um círculo. Também aparece em cálculos geométricos relacionados com o círculo. Por exemplo, em figuras como a elipse, a esfera, o cone ...
Pi se encontra, também, em inúmeras fórmulas da Matemática e da Física. É um número que fascina há séculos. Os primeiros a estudá-lo foram os babilônios e, em particular, os egípcios.
Os gregos lhe deram o nome e precisaram seu cálculo.
No século XVII era conhecido com uma aproximação bastante boa. Atualmente os computadores o calculam com uma precisão de mais de um bilhão de dígitos. Porém nunca se encontrou nem se encontrará um padrão.
Voltemos à reta numérica. Próximo do pi existe outro número notável, o número e, que também nunca se terminará seu cálculo.
O número e, do qual se conhecem também milhões de dígitos, aparece em vária fórmulas matemáticas e se relaciona com a evolução de fenômenos que aumentam a grande velocidade, a velocidade chamada exponencial ( daí o temo e).
Voltemos à reta dos números reais. Encontramos a raiz quadrada de 2, de 3, de 5, ... , ou seja, raízes de números positivos.
E não se pode extrair a raiz de um número negativo? Pode, porém o resultado é um número que não se encontra na reta, não é um número real.
O filósofo francês René Descartes lhe deu um nome adequado: Número Imaginário.
Assim como o zero e os números negativos, os números imaginários parecem fora da realidade, porém, muito pelo contrário, fazem parte dela.. Aparecem em numerosos campos da Engenharia e da Física: a automação, a cartografia, o eletromagnetismo, a mecânica quântica, ...
Os números imaginários se representam com a ajuda de uma reta perpendicular à reta dos reais.
Este é o plano numérico com todos os números conhecidos.
Leonard Euler, foi um matemático Suíço  que se dedicou intensamente a estudar os números. Pois bem, entre suas contribuições existe uma equação que reúne exatamente os números 1, 0, pi, e e o imaginário.
Para alguns esta é a fórmula mais importante da Matemática. No mínimo um resumo do mundo dos números e de seus personagens principais.

sábado, 21 de fevereiro de 2009

A evolução do ensino da Matemática

Cada vez mais, ... menos.

Semana passada comprei um produto que custou R$ 1,58. Dei à balconista R$ 2,00 e entreguei mais 8 centavos, para evitar receber ainda mais moedas.

A balconista pegou o dinheiro e ficou olhando para a máquina registradora, aparentemente sem saber o que fazer.

Tentei explicar que ela tinha que me dar 50 centavos de troco, mas ela não se convenceu e chamou o gerente para ajudá-la.

Ficou com lágrimas nos olhos, enquanto o gerente tentava explicar e ela aparentemente continuava sem entender.

Por que estou contando isso?

Porque me dei conta da evolução do ensino de matemática desde 1960, que foi assim:

  • 1. Ensino de matemática em 1960:

Um cortador de lenha vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção desse carro de lenha é igual a 4/5 do preço de venda .
Qual é o lucro?

  • 2. Ensino de matemática em 1970:

Um cortador de lenha vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção desse carro de lenha é igual a 4/5 do preço de venda ou R$ 80,00.
Qual é o lucro?

  • 3. Ensino de matemática em 1980:

Um cortador de lenha vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção desse carro de lenha é R$ 80,00.
Qual é o lucro?

  • 4. Ensino de matemática em 1990:

Um cortador de lenha vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção desse carro de lenha é R$ 80,00. Escolha a resposta certa, que indica o lucro:
( )R$ 20,00
( )R$40,00
( )R$60,00
( )R$80,00
( )R$100,00

  • 5. Ensino de matemática em 2000:

Um cortador de lenha vende um carro de lenha por R$ 100,00. O custo de produção desse carro de lenha é R$ 80,00. O lucro é de R$ 20,00.
Está certo?
( )SIM
( ) NÃO

  • 6. Ensino de matemática em 2008:

Um cortador de lenha vende um carro de lenha por R$100,00. O custo de produção é R$ 80,00. Se você souber ler coloque um 'X' no R$ 20,00.
( )R$20,00
( )R$40,00
( )R$60,00
( )R$80,00
( )R$100,00

 

Bons tempos que não voltam mais !!!!!

Nota: O conteúdo desta postagem me foi enviado por e-mail por uma querida colega de profissão, a Professora Gerda Stoll, que além ser uma autoridade e referência no ensino da Química é para mim, acima de tudo, um exemplo de vida.

O problema das bolas misturadas

Depois de pequena pausa, o homem da camisa vermelha apagou o cigarro e contou-nos o caso. Fui obrigado a ouvi-lo do princípio ao fim. Não houve outro remédio. Seria difícil arranjar um pretexto para sair. Um motivo qualquer, aceitável, para fugir.

E o tal homem, sem mais preâmbulos, sentou-se na minha frente, desapertou a gravata e narrou o seguinte:

– Para a noite da grande festa no clube, planejado o sorteio, preparei três urnas de madeira. Na primeira, com a etiqueta P (um P maiúsculo, azul, bem visível), coloquei dez bolas pretas; na segunda, com a etiqueta B ( um B amarelo, maiúsculo, deste tama­nho), coloquei dez bolas brancas; e, na terceira, finalmente, colo­quei  a etiqueta M. Esse M (em preto) significava misturadas. Está entendendo? Eram, ao todo, trinta bolas. Veja só: Trinta bolas!

PBM

 

Preparei tudo, como disse, para a festa. As três urnas foram cuidadosamente fechadas. Pois sabe o que fez o meu amigo Oscar Quental? De brincadeira, para provocar confusão (queria divertir­se à  minha custa) trocou as etiquetas das três urnas. Trocou tudo. Não havia uma que estivesse com a etiqueta certa.

Fiquei furioso com o caso. Furioso mesmo. Ia ser obrigado a abrir novamente as três urnas e verificar, uma por uma, quais as bolas nelas contidas. Contei o caso a um professor amigo, sócio do clube, que é matemático. Disse-me o professor: "Não é necessário abrir as urnas. Basta, de uma delas, retirar uma bola – uma bola só! – e o problema das três urnas, com as trinta bolas, estará totalmente resolvido."

Confesso que não acreditei no matemático. E não acreditei mesmo. Os matemáticos, às vêzes, são exagerados e fantasistas. Como poderia ele, com a retirada de uma bola de uma urna, descobrir a cor das vinte bolas das outras urnas?

Que fez o professor? Veja só.

Tomou a urna M, onde deveriam estar as bolas misturadas, e disse:

– Como as etiquetas estão trocadas esta urna deve conter as dez bolas brancas ou as dez bolas pretas. As misturadas, não. Vamos abrir esta urna e tirar dela uma bola. Tirar, apenas, uma bola.

Retirada a bola verificamos que era branca.

– Já sabemos – prosseguiu – que esta urna, falsamente indicada M é, agora, a urna das bolas brancas. É a antiga urna B.

– E as outras duas? – perguntei – Como vamos descobrir? Vamos abri-las?

Explicou o professor:

– Não vamos abrir mais nada. Vamos descobrir, pelo raciocínio, isto é, pela Matemática.

E tomando a urna onde, falsamente, estava P assim falou com segurança:

– Esta urna P, como as etiquetas estão trocadas, não contém, é claro, as bolas pretas; não contém, também, as brancas que estão na urna M, como já provamos. Ora, não contendo nem as pretas, nem as brancas, deve conter as misturadas. Está, assim, resolvido o caso da segunda urna. Quanto à terceira, indicada erradamente com a etiqueta M, não contém as brancas, nem as misturadas. Deve conter, por exclusão, as bolas pretas.

Estava, assim, com a retirada de uma bola (e só de uma bola) resolvido o problema das três urnas com as trinta bolas.

Mais tarde, antes da festa, perguntei ao Oscar Quental:

– Por que você foi fazer aquela brincadeira da troca das etiquetas?

Respondeu-me o Quental com um risinho maldoso:

– Era só para ver se você seria capaz de quebrar o galho e resolver o problema das trinta bolas sem abrir as três urnas.

– Só isso?

– Sim. Só isso.

– Ora, bolas!

 

Malba Tahan, As maravilhas da Matemática, Editora Record, 1973.

Um número mágico

 

1089

O número 1089 é considerado um número mágico.

Veja a seguir o motivo disso:
 

    Escolha qualquer número de três algarismos distintos:
         O número 674, por exemplo.
    Agora escreva este número de trás para frente e subtraia o menor do maior: 
         674 – 476 = 198   
    Inverta agora esse resultado e faça a soma:
        198 + 891 = 1089

 

Qualquer número de três algarismos distintos que você escolha, quando submetido ao processo apresentado acima, resultará em 1089, razão pela qual esse número é chamado de número mágico.

Mas atenção, a mágica só funciona se durante todo o processo de cálculo forem utilizados três digitos. Vejo o exemplo seguinte:

   Vamos escolher o número 584.

         584 – 485 = 099

         099 + 990 = 1089

 
Tente com outros números para se certificar que 1089 é de fato um número "mágico" e procure a seguir encontrar uma justificativa matemática que comprove porque isso sempre ocorre.

Francisco Ismael Reis

 AssinaturaFundoCla

(20/02/2009)

terça-feira, 17 de fevereiro de 2009

Os 11 conselhos de Bill Gates

O que as escolas não ensinam


Bill GatesO reitor de uma Universidade do Sul da Califórnia enviou um e-mail para a Microsoft convidando Bill Gates a fazer um discurso no dia de formatura, incentivando os formandos no início de suas carreiras e, para sua surpresa, Bill Gates aceitou. Esperava-se que ele fizesse um discurso longo, de mais de uma hora, afinal ele é o dono da Microsoft e possuiu a maior fortuna pessoal do mundo! Mas Bill foi extremamente lacônico, falou apenas durante 5 minutos, subiu em seu helicóptero e foi embora.
A seguir, as 11 regras que ele compartilhou com os formandos naquela ocasião:

"– Vocês estão se formando e deixando os bancos escolares, para enfrentarem a vida lá fora. Não a vida que vocês querem, não a vida que vocês sonharam ter, a vida como ela é. Você estão saindo de um mundo educacional que está pervertendo o conceito da educação, adotando um esquema que visa proporcionar uma vida fácil para a nova geração. Essa política educacional leva as pessoas a falharem em suas vidas pessoais e profissionais mais tarde. Vou compartilhar com vocês onze regras que não se aprendem nas escolas:


   Regra 1:

A vida não é fácil. Acostume-se com isso.

   Regra 2:

O mundo não está preocupado com a sua auto-estima. O mundo espera que você faça alguma coisa de útil por ele (o mundo) antes de aceitá-lo.

   Regra 3:
Você não vai ganhar vinte mil dólares por mês assim que sair da faculdade. Você não será vice-presidente de uma grande empresa, com um carrão e um telefone à sua disposição, antes que você tenha conseguido comprar seu próprio carro e ter seu próprio telefone.

   Regra 4:
Se você acha que seu pai ou seu professor são rudes, espere até ter um chefe. Ele não terá pena de você.

   Regra 5:

Vender jornal velho ou trabalhar durante as férias não está abaixo da sua posição social. Seus avós tinham uma palavra diferente para isso. Eles chamavam isso de "oportunidade".

   Regra 6:
Se você fracassar não ache que a culpa é de seus pais. Não lamente seus erros, aprenda com eles.

   Regra 7:
Antes de você nascer seus pais não eram tão críticos como agora. Eles só ficaram assim por terem de pagar suas contas, lavar suas roupas e ouvir você dizer que eles são "ridículos". Então, antes de tentar salvar o planeta para a próxima geração, querendo consertar os erros da geração dos seus pais, tente arrumar o seu próprio quarto.

   Regra 8:

Sua escola pode ter criado trabalhos em grupo, para melhorar suas notas e eliminar a distinção entre vencedores e perdedores, mas a vida não é assim. Em algumas escolas você não repete mais de ano e tem quantas chances precisar para ficar de DP até acertar. Isto não se parece com absolutamente NADA na vida real. Se pisar na bola está despedido... RUA! Faça certo da primeira vez.

   Regra 9:

A vida não é dividida em semestres. Você não terá sempre férias de verão e é pouco provável que outros empregados o ajudem a cumprir suas tarefas no fim de cada período.

   Regra 10:

Televisão não é vida real. Na vida real, as pessoas têm que deixar o barzinho ou a boate e ir trabalhar.

   Regra 11:

Seja legal com os CDF´s - aqueles estudantes que os demais julgam que são uns babacas. Existe uma grande probabilidade de você vir a trabalhar para um deles."

Reflita agora sobre as palavras do Bill Gates e pense em como isso se enquadra no conceito de Valor e Honra.

(17/02/2009)

domingo, 15 de fevereiro de 2009

O Professor está sempre errado

Quando…
É jovem, não tem experiência.
É velho, está superado.
Não tem automóvel, é um coitado.
Tem automóvel, chora de ‘barriga cheia’.
Fala em voz alta, vive gritando.
Fala em tom normal, ninguém escuta.
Não falta às aulas, é um “Caxias”.
Precisa faltar, é ‘turista’.
Conversa com os outros professores, está “malhando” os alunos.
Não conversa, é um desligado.
Dá muita matéria, não tem dó dos alunos.
Dá pouca matéria, não prepara os alunos.
Brinca com a turma, é metido a engraçado.
Não brinca com a turma, é um chato.
Chama à atenção, é um grosso.
Não chama à atenção, não sabe se impor.
A prova é longa, não dá tempo.
A prova é curta, tira as chances do aluno.
Escreve muito, não explica.
Explica muito, o caderno não tem nada.
Fala corretamente, ninguém entende.
Fala a ‘língua’ do aluno, não tem vocabulário.
Exige, é rude.
Elogia, é debochado.
O aluno é reprovado, é perseguição.
O aluno é aprovado, ‘deu mole’.
É, o professor está sempre errado mas, se
você conseguiu ler até aqui, agradeça a ele!”

Revista do Professor de Matemática 36, 1998.

Nota:

Esta postagem, cujo conteúdo já era do meu conhecimento, foi motivada por um e-mail que recebi no dia 13/02/2009 de um colega de profissão, o Prof. Nilton Sihel, que é Professor de Matemática e vive o dia a dia de uma sala de aula, preocupado em transmitir a seus alunos, não apenas conceitos e procedimentos de Matemática, mas também de cidadania.

"FELIZ É AQUELE QUE TRANSFERE O QUE SABE
E APRENDE O QUE ENSINA"

Cora Coralina.

15/02/2009

domingo, 1 de fevereiro de 2009

A prova dos nove

 

Há alguns anos atrás, quando o uso das calculadoras não era tão difundido como é hoje, ensinava-se nas escolas uma regra simples, conhecida como prova dos nove ou noves fora, cujo objetivo era verificar se operações de adição, subtração, multiplicação e divisão, continham erros.
Essa regra baseia-se no fato de que existe um mecanismo simples de calcular o resto da divisão de qualquer número inteiro por 9.

Para qualquer número inteiro, o resto de sua divisão por 9 é igual ao resto da soma de seus algarismos, também por 9.

 
Por exemplo, o número 49, quando dividido por 9, apresenta resto 4. A soma dos algarismos que formam o número 49 é 13 (4 + 9 = 13), e 13 dividido por 9, também apresenta resto 4.

Dessa maneira, para encontrarmos o resto da divisão de um número inteiro por 9, somamos os algarismos desse número, obtendo um segundo número. Somamos a seguir os algarismos desse segundo número, obtendo um terceiro número, e assim sucessivamente até obtermos um número formado por um só algarismo, que será o resto da divisão do número originalmente dado, por 9.

image


Vejamos como aplicar a prova dos nove numa adição e numa multiplicação:

1°. Numa adição

Consideremos a seguinte adição:

1 525 + 2 674 = 4 199

1ª. etapa
Adicionamos os algarismos de cada uma das parcelas (1 525  e  2 674) para obter os noves fora de cada uma delas;

2ª. etapa
Adicionamos os resultados obtidos na etapa anterior;

3ª. etapa
Adicionamos os algarismos da soma (4 199);

4ª. etapa
Comparamos os resultados obtidos na 2ª. e 3ª. etapas. Se forem iguais, temos aí um indicativo que a conta poderá estar certa.

Acompanhe cada uma das etapas descrita acima, no quadro a seguir:

image

Observe que a soma dos "noves fora" das parcelas (4 + 1 = 5), é igual ao "noves fora" do resultado (5).

 

2°. Numa multiplicação

O procedimento é idêntico ao da adição.

Consideremos a seguinte multiplicação:

328 x 74 = 24 272

1ª. etapa
Adicionamos os algarismos de cada um dos fatores:

3 + 2 + 8 = 13 —> 1 + 3 = 4 —> é o "noves fora" do 1° fator;

7 + 4 = 11 —> 1 + 1 = 2 —> é o "noves fora" do 2° fator.

2ª. etapa
Multiplicamos os resultados obtidos na etapa anterior;

4 x 2 = 8

3ª. etapa
Adicionamos os algarismos do produto (24 272);

2 + 4 + 2 + 7 + 2 = 17 —> 1 + 7 = 8

4ª. etapa
Comparamos os resultados obtidos na 2ª. e 3ª. etapas. Se forem iguais, temos aí um indicativo que a conta poderá estar certa.


Nota importante

Ainda que a "prova dos nove" funcione sempre que uma adição ou multiplicação tenham sido realizadas corretamente, ela também poderá se verificar em casos em que uma adição ou multiplicação tenham sido realizadas incorretamente. Suponhamos que no exemplo dado 1 525 + 2 674, tivessemos encontrado incorretamente o resultado 4 109 a "prova dos nove" se verificaria, entretanto não nos indicaria que o resultado estaria errado. Ou seja, a prova dos nove pode funcionar mesmo estando errado o resultado da operação efetuada, o que, embora não descarte seu uso, não faz dela uma prova definitiva.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoEsc 
(21/12/2008)