sábado, 31 de janeiro de 2009

Números amigos

O dicionário Aurélio define assim a palavra amigo:

amigo
[Do lat. amicu.] Adjetivo.
1.Que é ligado a outrem por laços de amizade;
2.Em que há amizade; amical, amistoso;
3.Simpático, acolhedor ...

 
Consideremos os números 220 e 284. Quais serão os "laços de amizade" que unem estes dois números?

Para responder a essa pergunta vamos construir a tabela a seguir  e nela colocar  todos os divisores próprios de cada número seguidos das respectivas somas:

Divisores próprios
(todos os divisores do número exceto o próprio número)

 

220

284

  1 1
  2 2
  4 4
  5 71
  10 142
  11  
  20  
  22  
  44  
  55  
  110  
Soma

284

220

 

Observe que:

– a soma dos divisores próprios do número 220 é 284

– a soma dos divisores próprios do número 284 é 220.

Este é o "laço de amizade" que une os números 220 e 284, e por esse motivo eles são chamados de números amigos.

Dizemos que dois números são amigos se cada um deles é igual a soma dos divisores próprios do outro.

 

A descoberta desse par de números amigos (220 e 284) é atribuída a Pitagoras (séc. V a.C.). Para os Pitagóricos, os números amigos simbolizavam a harmonia mútua, a amizade perfeita e o amor.

Outros matemáticos de renome, como Pierre de Fermat  (1601-1665) e Leonard Euler (1707-1783) dedicaram-se ao estudo dos números amigos. Fermat descobriu os pares 17 296 e 18 416. Na verdade uma redescoberta, uma vez que ao final do sév XIII o árabe Ibn al-Banna (1256-1321) havia encontrado o mesmo par de números. Euler publicou em 1747 uma lista de trinta pares de números amigos.

Assista ao vídeo a seguir e fique sabendo um pouco mais sobre números.

 

Francisco Ismael Reis .

AssinaturaFundoCla

(30/12/2008)

O princípio da casa dos pombos

Imagine-se sentado tranquilamente no banco de uma praça apreciando o movimento à sua volta. Ao seu redor um bando de pombos debica pelo chão, alimentando-se de pequenos grãos.
Com o propósito de ajudar a passar o tempo, você conta esses pombos. São 31.
PombalNum dos cantos da praça, sobre um pequeno pedestal, você observa um pombal, constituído por 30 casinhas, e que no momento encontram-se todas vazias.
De repente, a tranquilidade da praça é quebrada por alguém que a atravessa correndo e gesticulando muito, assustando os pombos, que voam todos para se esconder nas casinhas do pombal.
Ora, os pombos são em número de 31 e as casinhas 30. Se todos os pombos conseguiram abrigo nas casinhas, não é necessário ser um gênio para se deduzir que pelo menos dois  pombos ocupam a mesma casinha. Pois bem, este fato,  aparentemente banal, é conhecido em Matemática como princípio da casa dos pombos ou princípio de Dirichlet.

Dirichlet Johann Peter Gustav Lejeune Dirichlet (13  de fevereiro de 1805, Düren - 5 de maio de 1859, Göttingen) foi um matemático alemão a quem se atribui a moderna definição formal de função.[1]
Foi Dirichlet, que no ano de 1834, o primeiro a apresentar este princípio, razão pela que o mesmo leva seu nome.
Embora se trate de uma evidência extremamente elementar, este princípio é útil para resolver problemas que, pelo menos à primeira vista, não são imediatos. Veja a seguir dois exemplos simples de aplicação do princípio da cas dos pombos.

1. Quantas pessoas são necessárias para se ter certeza que haverá pelo menos duas delas façam aniversário no mesmo mês?
Pelo princípio da casa dos pombos, havendo mais pessoas do que meses, é certo que pelo menos duas farão aniversário no mesmo mês. Portanto, como o número de meses é 12, é necessário que tenhamos 13 pessoas.

2. É possível demonstrar que existem sobre a Terra, pelo menos, duas pessoas que tenham o mesmo número de cabelos sobre a cabeça?
Estudos mostram que, em média, uma pessoa tem 150 000 fios de cabelo na cabeça. Podemos, então, formar 150 001 grupos de pessoas, desde os que não têm nenhum fio de cabelo na cabeça (os carecas) até àqueles que têm 150 000. Como a população da Terra é muito maior que 150 000 pessoas, o princípio da casa dos pombos nos assegura que existirão pelo menos duas pessoas com a mesma quantidade de cabelos sobre a cabeça.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla 
(13/12/2008)

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[1] http://pt.wikipedia.org/wiki/Dirichlet

Sobre cônicas

 

Um repouso de dezoito séculos

Embora estudadas pelo geômetra grego Apolônio de Pérgamo, que viveu no século III a.C., as cônicas só foram encontrar aplicação quando o alemão Kepler, em 1609, enunciou suas leis. Entre o seu estudo, por Apolônio, e a sua aplicação, por Kepler, as cônicas tiveramum repouso de dezoito séculos. Foi um longo e bem merecido repouso.

 

As curvas definidas geometricamente e que só podem ser cortadas por uma reta qualquer de seu plano, em dois pontos reais ou imaginários, denominam-se curvas de segunda ordem ou do segundo grau.

Cônicas 

Essas curvas – círculo, elipse, hipérbole e parábola (veja a foto acima) – são também denominadas cônicas, pois qualquer uma delas pode ser obtida por meio de uma seção plana feita no cone de revolução.

Conicas0001

Vemos, na figura ao lado, um cone (de duas folhas) cortado de maneiras diferentes por um plano.

Se o plano cortar o cone no vértice vamos obter um ponto. Êsse ponto será o círculo degenerado ou uma elipse degenerada. Mas mesmo assim é, para o matemático, uma cônica. Sim, uma cônica degenerada.

Os planetas descrevem, em torno do Sol, elipses. O Sol ocupa precisamente um dos focos da elipse, que define a trajetória do planeta.

Há planetóides cujas órbitas têm excentricidade tão pequena que são consideradas como circulares. Já foi observado um cometa com órbita parabólica. Esse cometa (com órbita parabólica) passou uma vez nas vizinhanças do Sol e seguiu a sua jornada pelo infinito, para nunca mais voltar. Sim, caminha para o infinito, mas continua sua órbita, acompanhando o Sol.

Eis o que escreveu o poeta goiano Geraldo Vale, assegurando que os planetas jamais estudaram Geometria:

E estes mundos cegos, inconscientes, gravitando
em parábolas, em círculos, em elipses,
com perfeita harmonia e grandiosa beleza
e jamais estudaram Geometria?

Vemos, assim, que as cônicas são curvas tão notáveis e interessantes que despertam até a atenção dos poetas.

Do cilindro, por meio de uma transformação muito simples, podemos passar para o cone. E isso graças a um artifício bastante curioso.

A figura abaixo nos mostra três superfícies do segundo grau com indicação de suas geratrizes retilíneas: o cilindro de base circular, o hiperbolóide de uma folha e o cone. Vemos que as duas folhas do cone são separadas por um ponto que é o vértice. É o caso em que o ponto separa as duas superfícies.

Conicas0002

Sendo as geratrizes formadas por fios bem finos, podemos, por uma simples torção da base superior do cilindro, obter as outras superfícies, como indica a figura acima.

Estudadas por Apolônio, na Antigüidade, só foram as cônicas despertar a atenção dos homens com Kepler, quando este astrônomo alemão formulou as suas leis. Entre Apolônio e Kepler houve um intervalo de dezoito séculos.

Lidemos, pois, com as cônicas. Estudemos as suas propriedades. Vejamos quais são as suas aplicações. Elas precisam agir. Já tiveram um repouso de mil e oitocentos anos.

 

 

Malba Than, As maravilhas da Matemática, Editora Record, 1973.