Pitágoras e os números irracionais

Pitágoras, filósofo e matemático grego, natural da ilha de Samos, acredita-se ter vivido entre os anos 580 a.C. e 500 a.C. Entre os seus feitos está o da fundação de uma escola em Crotona, na Magna Grécia. Os membros dessa escola, chamados de pitagóricos acreditavam na existência de uma harmonia básica na natureza que podia ser expressa por meio das relações entre os números inteiros.

Pitágoras, estudando os triângulos retângulos, descobriu a relação que existe entre as medidas dos lados desse tipo de triângulo. Essa relação estabelece que "em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa" e é conhecida até hoje como teorema de Pitágoras, constituindo-se num dos principais teoremas da geometria plana.

Chamando-se a a medida da hipotenusa, b e c as medidas dos catetos, o teorema de pitágoras é traduzida por:

Assim sendo, num triângulo retângulo em que os catetos medem 3 cm e 4 cm, é fácil determinar a medida x da hipotenusa, pois:

Com base na relação de Pitágoras, é possível fazer a representação geométrica de alguns números irracionais.

Suponhamos um triângulo retângulo de catetos medindo uma unidade de comprimento cada um. A medida x da hipotenusa será:

e é um número irracional.

Na reta numerada a localização de pode ser feita conforme mostra a figura a seguir:

Construímos um triângulo retângulo OAC cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Como vimos, a hipotenusa OA desse triângulo medirá unidades de comprimento. Com o auxílio de um compasso, transportamos para a reta numerada a medida do comprimento da hipotenusa. Obtemos o segmento OB de medida , ficando dessa maneira determinada a localização do número na reta numerada.

De forma semelhante, podemos obter a localização de outros números irracionais na reta numerada.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V7, Editora Moderna, 1996.