Fluxograma

Um fluxograma é um diagrama que tem como finalidade representar processos ou algoritmos (uma sequência finita de regras, raciocínios ou operações que, aplicada a um número finito de dados, permite solucionar classes semelhantes de problemas). No fluxograma é criado, com o auxílio de formas geométricas pré-estabelecidas, o mapa visual onde podemos mostrar as diversas etapas de um sistema, tornando o conjunto das etapas um trabalho padronizado, organizado, que possa ser entendido e utilizado por qualquer pessoa. 
Veja, a seguir, o fluxograma correspondente ao desenvolvimento dos conteúdos da Probabilidade trabalhados no ensino médio.

São inúmeras as vantagens em se utilizar um fluxograma no processo de aprendizagem de um determinado conteúdo. Podemos destacar, entre muitas que existem, as seguintes:

• Melhora e facilita a compreensão do conteúdo que se está estudando;
• Mostra as etapas necessárias para a realização estudo;
• Facilita a elaboração das atividades e tarefas.

Francisco Ismael Reis

17/03/2018

O problema dos nove copos

Sobre uma mesa estão colocados enfileirados nove copos, conforme mostra a figura:

Inverte-se, sucessivamente e um de cada vez, a posição de seis desses copos. Um copo invertido ficará ao contrário se antes estava direito, e vice-versa.
Num primeiro movimento, inverte-se a posição do seis últimos copos que ficam assim distribuídos:

Num segundo movimento, inverte-se a posição dos seis primeiros:

Num terceiro movimento, invertem-se seis copos a partir do segundo:

Num quarto movimento, vamos inverter seis copos, a partir do terceiro:

E assim, sucessivamente.

A questão é

Quantos movimentos sucessivos são necessários para que todos os nove copos fiquem na posição contrária àquela em que se encontravam originalmente?

Solução:
Vamos substituir por +1 os copos que estão com a boca voltada para cima (direitos) e por –1 os que estão com a boca voltada para baixo (invertidos) e multiplicar os valores assim obtidos.
De inicio temos:

Após o primeiro movimento:

Após o segundo movimento teremos:

Após o terceiro:

E após o quarto:

Observe que, após a inversão de seis dos nove copos, o produto, em qualquer situação é sempre +1, isto porque em cada movimento mudamos os sinais de uma quantidade par de números.

Supondo que todos os copos estivessem invertidos, teríamos a seguinte situação:

Algo que, como mostramos anteriormente, nunca ocorrerá, uma vez que, após a inversão dos seis primeiros copos, o produto é sempre igual a +1. Dessa maneira, o problema não tem solução.

Francisco Ismael Reis

16/03/2019

Como a Índia revolucionou a matemática séculos antes do Ocidente

Marcus du Sautoy BBC,

"A História da Matemática"

À frente do tempo, os matemáticos indianos inventaram o número zero, mediram a circunferência da Terra e criaram o infinito matemático

Assim como a China, a Índia descobriu os benefícios de um sistema decimal há muito tempo.

Eles, inclusive, já o utilizavam no século 3.

É o mesmo sistema que usamos atualmente, em que a posição numérica indica unidades, dezenas, centenas, milhares e assim por diante.

Nós não sabemos direito como chegaram ao sistema decimal, mas os indianos certamente o aperfeiçoaram, estabelecendo as bases para os números de um a nove que são usados ​​em todo o mundo.

Eles também inventaram um novo número: zero.

Nada além de um espaço vazio

Seu primeiro uso conhecido data do século 9, mas é provável que tenha sido usado centenas de anos antes disso.

Este estranho número está gravado nas paredes de um pequeno templo dentro da fortaleza de Gwalior, na Índia Central.

Tornou-se um lugar cultuado por matemáticos, porque ele hospeda o "início" do número zero.

No antigo Egito, na Mesopotâmia e na China, havia um zero, mas como marcador, um espaço vazio.

Foram os indianos que o transformaram em número de fato, um salto conceitual que revolucionou a matemática.

Desde então, tornou-se possível formar números de tamanhos astronômicos e de uma maneira muito eficiente.

Como se chegou ao zero?

Nós nunca saberemos com certeza, mas é possível que a ideia e o símbolo usados para o zero tenham se originado de cálculos feitos no chão com pedras.

Quando as pedras foram retiradas, um recuo redondo permaneceu no lugar, representando o movimento de algo para nada.

Mas também pode ter havido uma razão cultural para a invenção desse número.

Os conceitos de nada e de eternidade faziam parte do sistema de crenças dos antigos índios.

Tanto a religião budista quanto a hindu adotam o conceito de nada como parte de seus ensinamentos.

Logo, não deve ter sido algo tão surpreendente que uma cultura que abraçava entusiasticamente o nada pudesse acomodar a noção de um zero.

Os indianos até usaram a palavra shunya, que representa a ideia filosófica do vazio, para representar o novo termo matemático.

Do zero ao infinito

Brahmagupta, famoso matemático indiano do século 7, demonstrou algumas das propriedades essenciais do zero.

Suas regras básicas para cálculos envolvendo zero ainda são ensinadas em escolas de todo o mundo.

1 + 0 = 1

1 - 0 = 1

1 x 0 = 0

Mas Brahmagupta encontrou mais quando tentou dividir 1 por 0.

Qual número multiplicado por zero é igual a um?

A solução exigiu um novo conceito matemático: o infinito.

Só isso daria sentido a divisões por zero.

E esse avanço também foi obra de um matemático indiano - Bhaskara, que o inventou no século 12.

Como assim?

Se você pegar uma fruta e cortá-la ao meio, você terá dois pedaços.

Se você cortar em três pedaços, terá três.

Outras divisões resultarão em frações cada vez menores, com mais e mais peças.

Eventualmente, você teria infinitas partes.

Bhaskara, então, raciocinou que um dividido por zero é igual ao infinito.

Mas os cálculos usando zero foram além.

Embora fosse aceito que 3 menos 3 equivalia a zero, qual seria o resultado de 3 menos 4?

Parece que você não tem nada, mas os indianos perceberam que isso era um novo tipo de nada: os números negativos.

Os indianos conseguiram chegar aos números negativos e ao zero porque os conceberam como entidades abstratas.

Os números não eram apenas algo usado para contar ou medir; eles tinham vida, flutuavam sem amarras ao mundo real.

Essa linha de pensamento gerou uma explosão de ideias matemáticas.

X e Y

A abordagem abstrata indiana para a matemática revelou novas maneiras de resolver equações quadráticas - aquelas que incluem números quadrados.

A compreensão de Brahmagupta, nascido em 598, dos números negativos permitiu-lhe ver que as equações quadráticas teriam sempre duas soluções. E que uma delas poderia ser negativa.

Ele foi ainda mais longe resolvendo equações com duas variáveis ​​(X e Y).

Esse movimento só aconteceria no Ocidente em 1657, quando o matemático francês Pierre de Fermat apresentou sua solução, alheio ao que seu colega indiano havia encontrado mil anos antes.

Brahmagupta também desenvolveu uma nova linguagem para expressar a solução dessas equações.

Enquanto experimentava maneiras de apresentar seus cálculos, ele usou as letras iniciais de dois nomes de cores para representar variáveis.

A decisão resultou na adoção de X e Y, que ainda usamos até hoje.

Não terminou aí

Os matemáticos indianos também foram responsáveis ​​por mais descobertas em trigonometria.

É verdade que os gregos foram os primeiros a desenvolver o que podemos chamar de "dicionário" que traduzia a geometria em números e vice-versa.

Mas os indianos foram mais longe.

Eles usaram trigonometria para estudar o mundo ao seu redor, o que inclui navegar pelos mares e calcular distâncias espaciais.

Matemáticos indianos, por exemplo, conseguiram calcular a distância entre a Terra e a Lua e entre a Terra e o Sol.

Os matemáticos da Índia também solucionaram o mistério de um dos números mais importantes da matemática: Pi.

Pi é o valor numérico da razão entre a circunferência de um círculo e seu diâmetro.

É um número que aparece em todos os tipos de cálculos, mas que é especialmente útil para engenheiros e arquitetos, já que toda medida envolvendo curvas requer Pi.

Durante séculos, os matemáticos procuraram o valor preciso de Pi.

Mas foi no século 6 que o matemático indiano Aryabhata deu uma aproximação bastante precisa: 3,1416.

Ele também usou o Pi para medir a circunferência da Terra, chegando ao valor de 39.968 km - um número muito próximo daquele que conhecemos hoje (40.075 km).

Madhava percebeu que, adicionando e subtraindo diferentes frações, era possível determinar uma fórmula exata para Pi.

Esta fórmula ainda é ensinada em muitas universidades ao redor do mundo como se tivesse sido descoberta pelo alemão Gottfried Wilhelm Leibniz no século 17.

Fonte:

https://www.bbc.com/portuguese/geral-47487130

Citações de Pitágoras

Pitágoras de Samos (c. 570 – c. 495 a.C.) foi um filósofo e matemático grego jônico creditado como o fundador do movimento chamado Pitagorismo. A maioria das informações sobre Pitágoras foram escritas séculos depois que ele viveu, de modo que há pouca informação confiável sobre ele. Nasceu na ilha de Samos e viajou o Egito e Grécia e talvez a Índia, em 520 a.C. voltou a Samos.Cerca de 530 a.C., se mudou para Crotona, na Magna Grécia.

Um problema não solucionado na época de Pitágoras era determinar as relações entre os lados de um triângulo retângulo. Pitágoras provou que a soma dos quadrados dos catetos é igual ao quadrado da hipotenusa, conhecido até os dias de hoje como Teorema de Pitágoras.

Como filósofo, Pitágoras nos deixou muitas citações. Veja a seguir algumas delas:

1. “Eduquem as crianças e não será necessário castigar os homens.”
2. “Escuta e serás sábio. O começo da sabedoria é o silêncio.”
3. “Quem fala, semeia. Quem escuta, colhe.”
4. “O homem é mortal por seus temores e imortal por seus desejos.”
5. “Pensem o que quiserem de ti; faz aquilo que te parece justo.”
6. “Antes de fazer alguma coisa, pense. Quando achar que já pode faze-la, pense novamente.”
7. “Deus é uno. Ele não está jamais, como pesam alguns, fora do mundo, mas sim totalmente no mundo inteiro. Deus está no Universo e o Universo está em Deus. O Mundo e Deus não são mais que uma unidade.”
8. “A verdadeira amizade significa unir muitos corações e corpos num coração e num espírito.”
9. “Despreza as estradas largas, segue os carreiros.”
10. “Todas as coisas são números.”
11. “A prudência é o olho de todas as virtudes.”
12. “A felicidade consiste em poder unir o princípio com o fim.”
13. “Não peças nada nas tuas preces, porque tu não sabes o que é útil e só Deus conhece as tuas necessidades.”
14. “Não peças nada nas tuas preces, porque tu não sabes o que é útil e só Deus conhece as tuas necessidades.”
15. “Em três partes se divide o alma humana: em mente, em sabedoria e em ira.”
16. “Cala-te ou dê algo melhor do que o silêncio.”
17. “Não é livre quem não obteve domínio sobre si.”
18. “Os afetos podem, às vezes, somar-se. Subtrair-se, nunca.”
19. “Não te gabes de ser adorado por uma mulher que se adora muito.”
20. “O universo é uma harmonia de contrários.”
21. “Quando mais fazemos, mais podemos fazer; quando estamos mais ocupados é quando temos mais tempo para divertir-nos.”
22. “Os homens que sempre falam verdade são os que mais se aproximam a Deus.”
23. “Necessário é encontrar o infinitamente grande no infinitamente pequeno, para sentir a presença de Deus.”
24. “Observa o teu culto, a família e, cumpre teus deveres para com teu pai, tua mãe e todos os teus parentes. Educa as crianças e não precisarás castigar os homens.”
    
25. “As palavras são os suspiros da alma.”
26. “Nada perece no Universo; tudo o que acontece nele não passa de meras transformações.”
27. “Mais lhe vale a um homem ter a boca fechada, e que os demais lhe achem tonto, que a abrir e que os demais se convençam de que o é.”
28. “Não sejas ambicioso e mesquinho; a justa medida é excelente em tais casos.”
29. “O riso afasta o medo e quem não tem medo não tem fé.”
30. “Em matéria de injustiça, pior não é sofre-la, é comete-la.”
    
    

Francisco Ismael Reis

09/03/2019

O Problema de Monty Hall

Esse problema foi criado pelo estatístico Steve Selvin inspirado em um programa da TV dos Estados Unidos – “Let’s Make a Deal “– dos anos 70, comandado pelo apresentador Monty Hall. O problema, publicado numa carta à revista The American Statistician em 1975 é reproduzido num trecho do filme Quebrando a Banca, lançado em 2008.

Eis o problema:

Imagine que você é um participante de um programa de auditório, e o apresentador mostra a você três portas fechadas. Ele diz que atrás de uma das portas está um carro, e atrás das outras duas há apenas bodes. Se você escolher a porta certa, ganha o carro – caso contrário levará apenas um bode. Você escolhe uma das portas. O apresentador, então, sem abrir a porta que você escolheu, dirige-se para uma das outras duas portas que sobraram. Como ele sabe em qual das três portas está o carro, ele então abre uma das duas portas que você não tinha escolhido – exatamente uma porta que escondia um bode. Restaram então apenas duas portas fechadas: aquela que você tinha escolhido, e uma outra que não foi aberta pelo apresentador. Atrás de uma delas está o carro. O apresentador então pergunta se você quer manter a escolha original ou se quer, agora, trocar de porta, escolhendo a outra que ele não abriu e que pode conter o carro. O que você deve fazer: 1 – manter a escolha original, ou 2 – trocar de porta ?

Diante do que foi apresentado, as pessoas, de maneira geral, acham que as chances são de 50%, afinal, ou o prêmio está na porta que você escolheu, ou está na outra porta que sobrou. Entretanto essa resposta não é correta. Vejamos:

As tabelas a seguir nos ajudarão a entender a solução do problema.

Admitindo que você tenha escolhido a porta 1 e lembrando que o apresentador nunca abrirá a porta com o carro, temos duas situações a considerar:

1ª. situação: Manter a escolha

Neste caso, manter a escolha, dá a você 1 chance de ganhar num total de 3, ou seja, a sua probabilidade de ganhar o carro é de 33,3%.

2ª. situação: Trocar de porta

Neste caso, trocar de porta, dá a você 2 chances de ganhar num total de 3, ou seja, a sua probabilidade de ganhar o carro é de 66,6%.

Portanto, TROCAR dá a você duas vezes mais chance de ganhar e esta é a escolha a ser feita.

Francisco Ismael Reis

08/03/2019

Símbolos matemáticos

Na tabela a seguir são mostrados os principais símbolos utilizados em Matemática e os seus respectivos significados.

Símbolo	Significado	Símbolo	Significado
+	mais, positivo	-	menos, negativo
x, * ou .	multiplicado por; vezes	/, ÷ ou :	dividido por
±	mais ou menos	=	igual a
≅	aproximadamente igual	≡	equivalente a; congruente
≠	diferente de	<	menor que
>	maior que	≤	menor ou igual
≥	maior ou igual	≪	muito menor que
≫	muito maior que	⊀	não é menor que
⊁	não é maior que	∝	proporcional a
∞	infinito	%	por cento
‰	por mil	∃	existe
∄	não existe	∉	não pertence a
∈	pertence a	∀	qualquer que seja
⇒ ou →	implica	⇔ ou ↔	se e somente se
| |	valor absoluto; módulo	∅ ou { }	conjunto vazio
#	cardinalidade	∩	intersecção
∪	união	⊃	contém
⊅	não contém	⊂	está contido
⊄	não está contido	[ ]	colchetes
( )	parênteses	{ }	chaves
√	raiz quadrada	∛	raiz cúbica
log	logaritmo de base 10	ln	logaritmo natural
^	potência, exponenciação	n!	fatorial
dy/dx	derivada	∫	integral
∇	gradiente	∏	produtório
∑	somatório	sen	seno
cos	cosseno	tg	tangente
cotg	cotangente	sec	secante
cossec	cossecante	°	grau
‘	minuto	“	segundo
π	pi (3,1415…)	φ	fi, o número de ouro (1,618…)
e	número de Euler (2,718…)	∟	ângulo reto
⊥	perpendicular a	//	paralelo a
¬ ou ~	negação lógica	∴	portanto
∵	porque	∨	ou
∧	e	ℕ	conjunto dos números naturais
ℤ	conjunto dos números inteiros	ℚ	conjunto dos números racionais
Ir	conjunto dos números irracionais	ℝ	conjunto dos números reais
ℂ	conjunto dos números complexos	i	unidade imaginária (i2 = –1)

Francisco Ismael Reis

07/03/2019

Probabilidade num dado viciado

Os dados são figuras geométricas, mais precisamente poliedros, e como tal podem se apresentar sob diferentes formatos, como mostrado na figura abaixo.

Entretanto, o mais comum é o de seis faces, que são numeradas de 1 a 6. Em um desses dados a frequência com que cada uma dessas faces ocorre, após o lançamento do mesmo é a mesma e igual a 1/6 o seja 0,1666 … ≅ 16,7%. Nessas condições, o dado é dito dado honesto.
Existem, porém, os dados viciados, aqueles em que as faces não ocorrem com a mesma frequência.
O problema a seguir, refere-se a um desses dados viciados.


Resolução:
Representemos por P(6) = p a probabilidade de ocorrência da face 6 desse dado.
De acordo com o enunciado do problema temos então que:

P(1) = 2p

P(2) = 2p

P(3) = 2p

P(4) = 2p

P(5) = 2p

P(6) = p

Ocorre que P(1) + P(2) + P(3) + P(4) + P(5) + P(6) = 1
Ou seja:

2p + 2p + 2p + 2p + 2p + p = 1

11p = 1

p = 1/11 ≅ 0,090909 …

Logo:
A probabilidade de ocorrência da face 6 é P(6) ≅ 9,1%
Francisco Ismael Reis

07/03/2019