domingo, 22 de março de 2009

Numeração binária

 

O nosso sistema de numeração é conhecido como Sistema de numeração decimal, isto porque, um dos primeiros, senão o primeiro, instrumento que ajudou o ser humano no processo de contagem, foram os dez dedos das mãos. Com eles podia contar todos os seus pertences.

O Sistema de numeração decimal ou de base dez, utiliza dez símbolos, chamados algarismos: 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9 , daí o nome decimal. Com esse dez símbolos é possivel representar qualquer quantidade. Embora seja o sistema de numeração mais em uso atualmente, nem sempre foi assim. Houve uma época em que o sistema utilizado era de base sessenta. Prova disso é que, ainda hoje, contamos o tempo nessa base: 1 hora é igual a 60 minutos, 1 minuto vale 60 segundos. Também as medidas angulares são um resquício dessa época.

Nos dias de hoje, tão importante quanto o Sistema decimal é o Sistema binário. Nesse sistema utilizam-se apenas dois elementos: 0 e 1.  Na tabela a seguir mostramos os números de 0 a 20, escritos no Sistema Decimal e a correspondente forma de escrevê-los no Sistema Binário, utilizando apenas zeros e uns.

Sistema Decimal

Sistema Binário

Sistema Decimal

Sistema Binário

0 0 11 1011
1 1 12 1100
2 10 13 1101
3 11 14 1110
4 100 15 1111
5 101 16 10000
6 110 17 10001
7 111 18 10010
8 1000 19 10011
9 1001 20 10100
10 1010    

 

Um circuito elétrico é um conjunto de dispositivos interligados eletricamente que trabalha em dois estados: energizado ou não energizado. Uma lâmpada conectada a uma bateria, constitui um exemplo simples de circuito elétrico. Nesse circuito, a lâmpada poderá estar acesa (energizada) ou apagada (não energizada). 

A importância do Sistema binário de numeração, reside no fato de que os computadores, que internamente são formados por milhares de circuitos elétricos, operam, a grosso modo, tal qual o exemplo citado da lâmpada, ou seja, cada um de seus circuitos poderá estar energizado ou não energizado, e a cada um desses estados associa-se um dos elementos: 0 (condição de não energizado) ou 1 (condição de energizado).bytes-ch

Em computação, chama-se um dígito binário (0 ou 1) de bit, que vem do inglês Binary Digit. Um agrupamento de 8 bits corresponde a um byte (Binary Term) e um conjunto de 1024 bytes forma um Kilobyte (ou Kbyte). O número 1024 foi escolhido pois é a potência de 2 mais próxima de 1000.

A tabela seguinte apresenta algumas das unidades do sistema binário comuns em linguagem computacional e seus respectivos símbolos e valores.

Unidade Símbolo Valor  
1 bit b 1 ou 0  
1 Byte B 8 bits  
1 Kilobyte KB 1024 bytes 210 bytes
1 Megabyte MB 1024 kilobytes 220 bytes
1 Gigabyte GB 1024 megabytes 230 bytes
1 Terabyte TB 1024 gigabytes 240 bytes
1 Petabyte PB 1024 terabytes 250 bytes
1 Exabyte EB 1024 petabytes 260 bytes
1 Zettabyte ZB 1024 exabytes 270 bytes
1 Yottabyte YB 1024 zettabytes 280 bytes

 

Aprenda um pouco mais, assistindo ao vídeo a seguir:

 

Francisco Ismael Reis

AssinaturaFundoCla
31/12/2008

quarta-feira, 18 de março de 2009

Um exercício de probabilidade

 

O exercício a seguir me foi proposto pelo Sammy Sikri, um aluno meu do 3° ano do Ensino Médio do Colégio Iavne, que o encontrou navegando por uma das muitas páginas da Internet.

  • O enunciado:

Uma urna contém 5 bolas numeradas de 1 a 5. Uma bola é retirada ao acaso dessa urna, seu número é anotado e a bola é devolvida à urna. Esse mesmo procedimento é repetido mais duas vezes. Seja X o número anotado após a primeira retirada, Y o número anotado após a segunda e Z o número anotado após a terceira.

Qual é a probabilidade de que o número  clip_image002 seja  par?

 

  • A solução:

Define-se probabilidade como sendo a relação (razão) que existe entre o número de situações favoráveis à ocorrência de determinado evento e o número de situações possíveis, portanto:

clip_image002[11]

 

Repare que o número X.Y + Z é constituído pelo produto de dois números e pela soma de dois números, Temos, portanto, que determinar em que condições o produto de dois números resulta em um número par, e em que condições a soma de dois números resulta em um número ímpar.

A soma de dois números é par, se os dois números forem pares ou se um for par e o outro ímpar. Por outro lado, o produto de dois números é par se os dois números forem pares ou ímpares.

Ao retirarmos uma bolinha da urna temos que a probabilidade de nela estar assinalado um número par é 2/5 e a probabilidade de nela estar assinalado um número ímpar é 3/5.

Vamos, então, montar a seguinte tabela de possibilidades, com as respectivas probabilidades:

  • P: representa par;
  • I: representa ímpar.

clip_image002

X Y Z
P P P clip_image002[21]
I P P clip_image002[25]
P I P clip_image002[27]
I I I clip_image002[29]

Total

clip_image002[31]

 

 

Logo, a probabilidade de que o número X . Y + Z seja par é

 clip_image002[36]

Valeu pelo interesse, Sammy.

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla

18/03/2009

sexta-feira, 13 de março de 2009

A Matemática das borboletas

 

Asseguram os naturalistas que certas borboletas ostentam, em suas asas, números expressos por algarismos indo-arábicos. Essas curiosas borboletas quando voam levam a Matemática para o céu.

DirphiaA mais curiosa das borboletas  matemáticas é a dirphia Sabina Walker que ostenta, em suas asas, o algarismo 1 em preto. Essa borboleta tem a preocupação de ser a nº 1 entre os coleópteros.

Borboleta interessante callicore-peruviana é a chamada Callicore Peruviana que pode ser encontrada facilmente no Paraná e em Minas Gerais. A Callicore apresenta um 88 numa asa e outro 88 na outra as. A repitição é certa, pois as asas das borboletas são rigorosamente simétricas. O desenho de uma asa é exatamente igual ao desenho da outra asa.

Esta Catagrammabela e curiosa borboleta que os naturalistas denominam Catagramma sorana Godt mostra-nos em cada asa um oitenta com os dois algarismos bem destacados. O matemático diria: 80 de um lado, e 08 do outro. O nome Catagramma deriva-se do grego Kata (sôbre) e gramma (carta).

Essa borboleta vem provar que o zero à esquerda de um número pode ter uma significação especial.

Tahn, Maba. As maravilhas da Matemática, p.206. Ed. Bloch, 1973.

terça-feira, 10 de março de 2009

Por que sempre resulta em 1089?

Na postagem intitulada Um número mágico mostrei uma brincadeira feita com qualquer número de três algarismos distintos, que sempre resultava em 1089, independentemente da escolha feita.

1089 

Nesta postagem vou demosntrar porque isso sempre ocorre.

Consideremos M um número de 3 algarismos distintos (abc) com a representando o algarismo das centenas, b o algarismo das dezenas e c o algarismo das unidades.

M pode ser escrito como:

M = 100a + 10b + c

Consideremos, agora, o número N formado pelos mesmos algarismos que M, porém escritos na ordem inversa (contrária).

N pode ser escrito:

N = 100c + 10b + a

Supondo que M > N, temos que a > c visto que a e c representam as centenas de M e N, respectivamente.

Subtraindo N de M, ficamos com:

M – N = 100a + 10b + c – (100c + 10b + a)

M – N = 100a + 10b + c – 100c – 10b – a

M – N = 99a – 99c

M – N = 99(a – c)

Essa diferença será tratada como um número de três algarismos (mnp) e é sempre um múltiplo de 99 e portanto um múltiplo de 9.

Observe que tanto no número M, quanto no número N, o algarismo b, das dezenas, não muda de posição. Como a > c, então o algarismo das dezenas n da diferença entre M e N (mnp) será sempre igual a 9 (n = 9). Por outro lado, se um número é divisível por 9 a soma de seus algarismos é também um número divisível por 9, de onde se conclui que m + p = 9.

Vamos, neste momento, somar o resultado da diferença entre M e N, representada pelos algarismos mnp, com o número escrito na ordem inversa pnm e chamar de F a esse resultado.

F = 100m + 10n + p + 100p + 10n +m

F = 100(m + p) + 20n + (m + p)

F = 100 × 9 + 20 × 9 + 9

F = 900 + 180 + 9

F = 1089

c.q.d.

 

Francisco Ismael Reis

AssinaturaFundoCla

21/02/2009