A Estrela de David

A expressão Maguên David, em hebraico, significa “Escudo de David”. É um símbolo puramente geométrico formado por dois triângulos equiláteros, concêntricos, com os lados respectivamente paralelos e completando um entrelaçado hexagonal (de seis pontas) denominado hexagrama.

Muitos autores erradamente  definem o hexagrama como hexágono estrelado com seis lados. O hexagrama pode ser uma estrela “de seis pontas” , mas não poderá ser, de forma alguma, um polígono estrelado. No caso do hexagrama inscrito num círculo, os seis vértices dos triângulos básicos estarão, é claro, sobre a circunferência.

A origem desse símbolo é totalmente ignorada e deve ter suas raízes na Antiguidade (4000 a.C.) pois o hexagrama aparece entre os primitivos sacerdotes egípcios e já era conhecido dos cabalistas hindus. Assegura Blavatsky ¹ (Doutrine Secrèt) que o hexagrama, na Índia, era o símbolo de Vichnu ², segunda pessoa da trindade indiana. O Dr. R. Allendy ³, em seu livro Le Symbolisme des Nombres, procura provar que existe uma certa relação entre o hexagrama e o número seis, pois o Eterno criou o mundo em seis dias, sendo seis o primeiros número perfeito da série natural. O Templo de Salomão tinha seis degraus e eram, em número de seis, as asas de um serafim (Is., 6,2).

Encontramos o hexagrama nas igrejas católicas da Idade Média. Nos antigos templos maçônicos encontramos ainda o hexagrama, adotado (dentro das Ciências Ocultas) para representar a Justiça. Observa o Dr. Allendy (o. cit.) que o hexagrama não pode ser obtido por um traçado contínuo (sem levantar a caneta do papel) e, por isso, simboliza duas ações antagônicas. Para os alquimistas, o triângulo superior (tendo um dos vértices para cima) representava o “Figo”, pois a chamas tendem a subir; o outro triângulo (com um dos vértices para baixo) era a “Água”, pois a água tende sempre a descer.

Não sabemos em que época o hexagrama tomou o nome de “Escudo de David” e passou a ser o símbolo do judaísmo.

Fora do judaísmo, entre os árabes muçulmanos, o hexagrama é denominado “Selo de Salomão” e é citado até nos contos das Mil e Uma Noites (História do Pescador e o Gênio).

No Folclore Brasileiro é conhecido como “Signo de Salomão” e é empregado como contrafeitiço em certas mágicas relacionadas com o mito lobisomem.

No livro O Esoterismo de Umbanda, de Osório Cruz, encontramos certas indicações sobre o Maguên David:

O Signo de Salomão é formado de dois triângulos de lados iguais invertidos, encaixados um no outro. É o símbolo da União do Espírito e da Matemática e também da evolução.

Este símbolo possui grande poder mágico se for riscado por uma pessoa muito evoluída e conforme certos ritos que pertencem aos africanos e hindus.

Atualmente o Maguên David é um símbolo judaico universalmente reconhecido. Figura, com destaque, isolado na faixa branca central da bandeira nacional do Estado de Israel, e aparece nas sinagogas, nos selos de Israel, nas sepulturas israelitas, em seus emblemas, jóias, objetos artísticos, capas de livros etc.

 

Tahan, Malba. As Maravilhasda Matemática –  Ed. Bloch.

 

 

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1. Elena Petrovna Blavatskaya - escritora, filósofa e teóloga da Rússia, responsável pela sistematização da moderna Teosofia e co-fundadora da Sociedade Teosófica.

2. Na mitologia hindu, Vixnu , juntamente com Shiva e Brahma formam a trimúrti, a trindade hindu, na qual Vixnu é o deus responsável pela manutenção do universo.

3. René Allendy, (1889-1942) médico, homeopata e psicanalista francês.

Azulejos que ensinam

Azulejos que ensinam foi o tema de uma exposição de azulejos apresentada na Universidade de Coimbra em 2007.

“Os Elementos” de Euclides foram transpostos para um conjunto de azulejos, único no mundo, que ilustram os teoremas geométricos daquele sábio grego e foram um instrumento pedagógico do ensino da Matemática pelos Jesuítas. Acredita-se que as representações reproduzidas nos azulejos em questão tenham saído da versão de André Tacquet, jesuíta e matemático belga, publicada pela primeira vez em 1654.

Pois bem, um amigo meu, Renato H. Pinto, em visita a Portugal, encontrou um catálogo com  reproduções na forma de cartão postal de seis dessas relíquias com o qual me presenteou e que, neste momento, compartilho com todos aqueles que, como eu, são apaixonados pela Geometria.

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729 (1ª ed: Antuérpia, 1654) Livro I, Corolário 13 da Proposição 32: Daqui se tira  um modo fácil  de dividir em três partes iguais um ângulo recto BAC. (a trissecção do ângulo reto – comentário de André Tacquet). Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro [Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729 (1ª ed: Antuérpia, 1654) Livro III, Proposição 1: Dado um círculo achar-lhe o centro. Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro [Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729 (1ª ed: Antuérpia, 1654) Livro I, Proposição 29 (Proposição 28 nas edições actuais): Se a recta GO, cortando duas rectas AB e CF, fizer o ângulo externo GLB, igual ao interno para a mesma parte LOF, ou também os dois internos para a mesma parte BLO e LOF iguais a dois rectos, a duas rectas cortadas serão paralelas. Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro [Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729 (1ª ed: Antuérpia, 1654) Livro I, Proposição 44: Sobre a recta OS construir um paralelogramo igual [em área] a um triângulo dado V, o qual [paralelogramo] tenha um ângulo igual a outro dado X. Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro [Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729 (1ª ed: Antuérpia, 1654) Teoremas escolhidos de Arquimedes: Proposições 40, 41, 43, 44 (Proposições originais de André Tacquet, análogas às de Arquimedes para a esfera e o cilindro)   Proposição 4o: A superfície da esfera está para toda superfície do cone equilátero circunscrito assim como 4 está para 9. Proposição 41: A superfície total do cone equilátero circunscrito a uma esfera é quadrupla da superfície total de um outro cone semelhante inscrito na mesma esfera. Proposição 43: O cone equilátero circunscrito a uma esfera está [em volume] para o cone semelhante inscrito na mesma esfera assim como 8 está para 1. Proposição 44: A esfera está para o cone equilátero circunscrito, tanto em volume como na superfície total assim como 4 está para 9. Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro [Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

in Os Elementos de Euclides – Edição de André Tacquet, Pádua, 1729 (1ª ed: Antuérpia, 1654) Teoremas escolhidos de Arquimedes: Proposição 20. Proposição 20:  As superfícies cônicas inscritas na esfera fenecem na esfera. Azulejo pertencente à coleção do Museu Nacional de Machado de Castro [Publicação autorizada pelo IMC, IP] – Fotografia; José Pessoa

 

Para mais esclarecimentos, consulte, neste blog, Os postulados de Euclides.

Também poderá ser de seu interesse consultar a versão online da edição de Oliver Byrne de “Os Elementos” de Euclides (1847)
(http://sunsite.ubc.ca/DigitalMathArchive/Euclid/byrne.html)

Francisco Ismael Reis.

14/02/2010.

Dez mandamentos para professores

1. Tenha interesse pela sua matéria.
2. Conheça a sua matéria.
3. Procure ler as expressões faciais dos seus alunos; procure descobrir as suas expectativas e as suas dificuldades; ponha-se no lugar deles.
4. Compreenda que a melhor maneira de aprender alguma coisa é descobri-la você mesmo.
5. Dê aos seus alunos não apenas informação, mas know-how, atitudes mentais, o hábito de trabalho metódico.
6. Faça-os aprender a dar palpites.
7. Faça-os aprender a demonstrar.
8. Procure encontrar, no problema que está abordando, aspectos que poderão ser úteis nos problemas que virão - procure descobrir o modelo geral que está por trás da presente situação concreta.
9. Não desvende o segredo de uma vez - deixe os alunos darem palpites antes - deixe-os descobrir por si próprios, na medida do possível.
10. Sugira, não os faça engolir à força.

    

George Pólya.

George Pólya

George Pólya nasceu a 13 de Dezembro de 1887 em Budapeste (Hungria) de família judaica de origem polaca.

Foi um ótimo estudante no ensino secundário apesar da escola que frequentava valorizar muito a aprendizagem com base na memória, prática que Pólya considerava monótona e sem utilidade.

Licenciou-se em 1905 tendo sido considerado como um dos quatro melhores alunos do seu ano o que lhe permitiu ganhar uma bolsa de estudo na Universidade de Budapeste. Aí começou por estudar Direito, tal como seu pai. No entanto, achou o curso aborrecido e passou para o curso de línguas e literaturas. Interessou-se depois por Latim, Física, Filosofia e finalmente por Matemática tendo, em 1912, concluído o seu doutoramento.

No Outono de 1913 foi para Göttingen onde conheceu Hilbert. Ainda durante este ano, publicou um dos seus maiores resultados, a solução do problema do passeio aleatório. Em 1913 foi para Paris trabalhar no seu pós-doutoramento.

Em 1914 assumiu um cargo na Universidade de Zurique onde conheceu Hurwitz. Nesse mesmo ano, foi chamado pelo seu país para a guerra mas recusou-se a prestar serviço militar. O medo de ser preso por não ter respondido à chamada fez com que apenas regressasse à Hungria depois de ter terminado a Segunda Guerra Mundial. Em Zurique conheceu a sua futura esposa Stella Weber. Casaram em 1918 permanecendo juntos até à morte de Pólya.

Em 1924, trabalhou com Hardy and Littlewood em  Oxford e Cambridge. Publicou a classificação em dezessete grupos dos planos de simetria, resultado que, mais tarde, viria a inspirar Escher.  Em 1925, juntamente com Szegö, publicou:  "Aufgaben und lehrsätze aus der Analysis" e "Die grundlehren der mathematischen wissenschaften".

Em 1940, com receio de uma possível invasão alemã da Suíça, decidiu ir para os Estados Unidos tendo aceite, em 1942, um cargo de professor na Universidade de Stanford onde permaneceu até à sua retirada do ensino, em 1953.

Em 1945 publicou um dos seus livros mais famosos: “How to Solve it" de que aqui se apresenta uma tradução comentada. Seguiram-se "Isoperimetric Inequalities im Mathematical Physics" (1951); “Matemathics and Plausible Reasoning” (1954), “Mathematical Discovery” (1962-64) de que aqui se apresenta a tradução do capítulo XIV.

George Pólya faleceu a 7 de Setembro de 1985.

Índice de massa corporal – IMC

O Índice de Massa Corporal (IMC) é uma medida internacional usada para calcular se uma pessoa está abaixo, acima ou no peso ideal.

Esse procedimento foi desenvolvido por Lambert Adolphe Jacques Quételet (Gante, 7 de fevereiro de 1796 — Bruxelas, 17 de fevereiro de 1874), matemático, astrônomo, estatístico e sociólogo belga.

O IMC é um cálculo que leva em consideração tanto o peso corporal como a altura da pessoa, e pode ser calculado em polegadas e libras (como nos EUA), ou em metros e quilogramas (no Brasil e outros países que usam o sistema métrico).

O IMC é determinado pela divisão da massa do indivíduo pelo quadrado se sua altura, o que nos leva à seguinte fórmula:

O resultado obtido através dessa fórmula é comparado com os valores da tabela a seguir, homologada pela OMS – Organização Mundial de Saúde –  que indica o grau de obesidade do indivíduo.

IMC	Classificação
< 18,5	Magreza
18,5 – 24,9	Saudável
25,0 – 29,9	Sobrepeso
30,0 – 34,9	Obesidade Grau I
35,0 – 39,9	Obesidade Grau II (severa)
≥ 40,0	Obesidade Grau III (mórbida)

 

 

 

 

 

 

A calculadora apresentada abaixo, irá ajudá-lo a determinar o seu IMC.

Calculadora de IMC

Digite o seu peso em kg:   Digite a sua altura em cm:   Seu IMC

Francisco Ismael Reis.

23/01/2010.

Matemáticos por natureza

 

Li, há algum tempo atrás, O instinto matemático (Ed. Record), de Keith Devlin. Nele, o autor nos mostra, de maneira bastante didática,  como podemos aprimorar nosso conhecimento matemático inato e defende a ideia que existem dois tipos de matemática: a natural e a simbólica. A natural é intrínseca aos animais ao passo que a simbólica é exclusiva dos homens. Navegando pela internet, encontrei, acidentalmente, um texto de Michelson Borges, que me agradou sobremaneira e que sintetiza muito bem o conteúdo do livro. É esse texto que transcrevo a seguir:

Deu na Veja (18/02): "Em o Instinto Matemático (Ed. Record), Keith Devlin, professor de matemática da Universidade Stanford, apresenta pesquisas recentes sobre morcegos, aves, lagostas e até formigas, com o intuito de provar que eles são matemáticos naturais. As migrações sazonais de andorinhas e borboletas-monarcas, por exemplo, revelam uma prodigiosa capacidade de orientação, comparável aos mais recentes sistemas de navegação GPS - os quais incorporam uma boa dose de matemática avançada. (...)
"Um dos exemplos mais expressivos é o do cachorro que brinca na praia. Se seu dono arremessar a bola em diagonal em direção ao mar, o cão geralmente vai correr sobre a areia, em uma linha reta ao longo da beira, para só depois entrar na água, em diagonal. À primeira vista, não parece uma estratégia inteligente. Todos nós aprendemos que a linha reta é o caminho mais curto entre dois pontos - por que não correr direto para a bola? Acontece que o cachorro é um bicho terrestre - sua velocidade de nado é consideravelmente inferior à de corrida. A combinação que ele faz entre as duas formas de locomoção representa o modo mais rápido de chegar à bola. Para traçar o mesmo trajeto ideal, uma pessoa teria de recorrer ao cálculo diferencial e integral..."
A matéria menciona também a fantástica engenharia das abelhas, que conseguem armazenar a maior quantidade de mel usando a menor quantidade de cera. "A geometria das abelhas intrigou matemáticos por séculos. Só em 1999 houve uma comprovação definitiva de que a forma do hexágono é a mais eficiente para armazenar mel."
Qual a explicação para todos esses comportamentos complexos e inatos? Alguma dúvida de qual seja? Ei-la, segundo Veja: "Ao longo da evolução, seu [do cachorro] cérebro foi equipado para realizar instintivamente operações que, expressas em matemática formal, parecem complicadas." Parecem, não, são! Quando a constatação de design ou projeto é óbvia, usam-se recursos linguísticos para tentar minimizar a complexidade.
Mais uma vez a teoria-explica-tudo é tirada da manga para fornecer "resposta" a um comportamento que envolve informação armazenada no cérebro e características e atitudes que deveriam existir desde o princípio para que o animal pudesse deixar descendentes. Outro exemplo: as fêmeas de mamíferos como os cães lambem a placenta dos recém-nascidos tão-logo eles vêm ao mundo. Se elas não fizessem isso, eles morreriam. Quem as ensinou a agir assim? E mais: Como animais que vivem em colônia adquiriram seus complexos instintos, se dependem deles para sobreviver e eles tinham que funcionar assim desde sempre? Como as aves migratórias conseguem calcular o trajeto e a quantidade exata de energia que devem acumular para chegar ao local certo e fugir do frio? Se esses comportamentos e instintos não funcionassem bem desde a primeira vez, as primeiras migrações seriam um fracasso e levariam muitas espécies à extinção.
Michelson Borges

Sobre o autor

MICHELSON BORGES

Jornalista (formado pela UFSC) e editor da Casa Publicadora Brasileira. É autor dos livros Nos Bastidores da Mídia, Por Que Creio, A História da Vida, entre outros. Mestrando em Teologia pelo Unasp, mantém o blog www.criacionismo.com.br

Francisco Ismael Reis.

22/01/2010.

Você sabia – 05 …

 

 

Francisco Ismael Reis.

21/01/2010.