Quanto vale a soma?

 

Durante uma das aulas em que o assunto eram as Progressões (Aritméticas e Geométricas), um aluno me propôs que calculasse o valor da soma da seguinte sequência:

Embora os numeradores das frações formem uma P.A. de razão 1 e os denominadores uma P.G. de razão 3, a sequência em si não representa, nem uma P.A., nem uma P.G., por conseguinte, não se podem aplicar as fórmulas para a obtenção da soma de uma P.A. ou de uma P.G.

Como proceder, então?

Após alguns momentos de reflexão, pude observar que a sequência poderia ser reescrita da forma como mostro a seguir:

Se observarmos as colunas, notaremos que as sequências que se formam, em cada uma delas, constituem Progressões Geométricas de razão igual a 1/3.

É possível, portanto, calcular a soma de cada uma dessas colunas, aplicando-se a fórmula da soma dos termos de uma P.G. infinita dada por:

Assim sendo, para a:

• Coluna 1

• Coluna 2

• Coluna 3

A soma desejada S, corresponde à soma S₁  + S₂ + S₃ + … , ou seja:

que corresponde à soma de outra P.G. infinita, portanto:

Consequentemente:

 

Francisco Ismael Reis.

14/01/2010.