Durante uma das aulas em que o assunto eram as Progressões (Aritméticas e Geométricas), um aluno me propôs que calculasse o valor da soma da seguinte sequência:
Embora os numeradores das frações formem uma P.A. de razão 1 e os denominadores uma P.G. de razão 3, a sequência em si não representa, nem uma P.A., nem uma P.G., por conseguinte, não se podem aplicar as fórmulas para a obtenção da soma de uma P.A. ou de uma P.G.
Como proceder, então?
Após alguns momentos de reflexão, pude observar que a sequência poderia ser reescrita da forma como mostro a seguir:
Se observarmos as colunas, notaremos que as sequências que se formam, em cada uma delas, constituem Progressões Geométricas de razão igual a 1/3.
É possível, portanto, calcular a soma de cada uma dessas colunas, aplicando-se a fórmula da soma dos termos de uma P.G. infinita dada por:
Assim sendo, para a:
- Coluna 1
- Coluna 2
- Coluna 3
A soma desejada S, corresponde à soma S1 + S2 + S3 + … , ou seja:
que corresponde à soma de outra P.G. infinita, portanto:
Consequentemente:
Francisco Ismael Reis.
14/01/2010.
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