Ano bissexto

 

Ano bissexto é aquele que possui um dia a mais que os tradicionais 365 dias. Esse dia extra, no calendário gregoriano, é acrescentado, a cada 4 anos, no mês de fevereiro, que passa a ter então 29 dias. Adota-se esse procedimento para corrigir a diferença que existe entre o ano-calendário convencional, que tem duração de 365 dias, e o ano solar, tempo que a Terra leva para completar uma volta ao redor do Sol, com duração de 365 dias e 6 horas.

Essa diferença de 6 horas corresponde a 1/4 de dia. Isso significa que a cada 4 anos existe uma diferença de 1 dia entre o ano-calendário e o ano solar.

A correção no calendário foi adotada pela primeira vez no Egito, em 238 AC. Com a introdução do calendário Juliano em 45 AC, adotou-se a regra de que todo ano divisível por quatro era bissexto. Porém, ainda assim, existia um erro de aproximadamente 1 dia a cada 128 anos.

No final do século XVI com a introdução do calendário Gregoriano, usado até hoje na maioria dos países, adotaram-se as seguintes regras para definir o ano bissexto:

1- Todo ano divisível por 4 é bissexto 2- Todo ano divisível por 100 não é ano bissexto 3- Mas se o ano for também divisível por 400 é ano bissexto

Essas regras foram introduzidas para reduzir ainda mais o erro no calendário.

Para melhor entender:

• São bissextos todos os anos múltiplos de 400, p.ex: 1600, 2000, 2400, 2800
• Não são bissextos todos os múltiplos de 100 e não de 400, p.ex: 1700, 1800, 1900, 2100, 2200, 2300, 2500...
• São bissextos todos os múltiplos de 4 e não múltiplos de 100, p.ex: 1996, 2004, 2008, 2012, 2016...
• Não são bissextos todos os demais anos.

Ainda como curiosidade, a expressão bissexto vez ou outra é associada ao duplo seis (66) da expressão 366, o que expressa uma coerência mnemônica popular, porém, sem comprovação e o dia extra que serve como fator de correção não é o dia 29 de fevereiro, como a maioria das pessoas pensa, mas sim, o dia 24 do mesmo mês.

Francisco Ismael Reis.

27/06/2009.

Fazer gol não é problema!

 

A imbatível equipe de futebol de salão do 1º ano A do Ensino Médio  do Colégio Iavne de 2009, composta pelos atletas Allan M., Ernesto R., Johnny D., Johnny K., Marko D., Rafael H. e Samy K. que, devido à elevadissima qualidade técnica apresentada por seus jogadores, não tem a menor dificuldade em fazer gols no adversário, tem, entretanto, um pequeno problema:

Como distribuir os sete atletas em campo, jogando 4 de cada vez e, de tal maneira que todos joguem o mesmo tempo, durante uma partida que tem a duração de 40 minutos?

 

Preocupados em não perder a concentração para os jogos, ocupando-se com devaneios matemáticos, o que poderia acarretar uma ligeira diminuição na quantidade de gols que estão acostumados a “enfiar” nos adversários, a equipe me procurou, para que, na condição de professor de Matemática, os ajudasse a solucionar esse pequeno problema.

Para atender a tão simpático pedido, adotei, então, os seguintes procedimentos:

Procedimento 1

Como devem jogar quatro atletas simultâneamente, imaginei que cada um deles deveria ocupar, dentro de campo, uma das posições P1, P2, P3 e P4, cada uma das quais com tempo total de duração igual ao da partida, ou seja, 40 minutos.

Procedimento 2

Chamei cada um dos sete jogadores de J1, J2, J3, J4, J5, J6, e J7, respectivamente.

  Procedimento 3

Distribuí todos os jogadores, imaginando cada um deles jogando durante um determinado “bloco unitário” de tempo, de mesma duração para cada um deles. A figura a seguir ilustra esse “bloco unitário”, correspondente a cada um dos atletas.

A quantidade de “blocos unitários” de tempo deve, portanto, ser um múltiplo de 7 (visto que são sete jogadores) e de 4 (visto que são quatro posições). Logo, o menor número de “blocos unitários”  de que necessitamos é 7 x 4 = 28.

A figura a seguir ilustra uma das possíveis situações de distribuição, em campo, dos atletas através de seus “blocos unitários”.

Procedimento 5 - Conclusões

Observando a figura anterior podemos tirar as seguintes conclusões:

    Cada posição é formada por 7 “blocos unitários” de tempo. Como cada posição tem o tempo de duração do jogo ou seja 40 minutos, cada “bloco unitário” de tempo equivale a 40/7 minutos, ou seja, aproximadamente 5 minutos e 42 segundos.
    Cada jogador deverá jogar 4 “blocos unitários” de tempo, ou seja, aproximadamente 22 minutos e 51 segundos. 

A solução apresentada não é única e talvez não seja a mais simples. Entretanto, a ideia de utilizar “blocos unitários” de tempo, possibilita aos jogadores e ao técnico uma forma simples de visualização dos atletas em campo e como consequência, facilidadede na escolha do melhor esquema tático.

Francisco Ismael Reis.

20/06/2009.

Com 4 quatros!!!

 

Uma das características mais fascinantes da Matemática é o seu lado lúdico, através do qual, por meio do raciocínio lógico, ela nos instiga  a vencer os desafios que nos são propostos.

Este interessante passatempo consiste em escrever os números inteiros de 0 a 9, através de uma expressão matemática na qual poderão ser utilizados apenas 4 quatros e os sinais operatórios de adição, subtração, multiplicação  e divisão.

A figura ao lado nos mostra como isso pode ser conseguido. Procure, entretanto, antes de olhar para ela com mais atenção, obter alguns resultados.

Há quem diga ser possível escrever todos os números naturais de 0 a 100. Será que você, caro e paciente leitor, conseguirá, utilizando os mesmos recursos mais os símbolos operatórios de fatorial e raiz quadrada escrever mais alguns números?

 

Francisco Ismael Reis.

14/06/2009.

A origem dos nomes dos meses do ano

A palavra calendário deriva do latim calendarium ou livro de registro, que por sua vez derivou de calendae, que indicava o primeiro dia de um mês romano.

Alguns nomes dos meses do ano remontam à época do Império Romano.

Tudo tem inicio com o antigo calendário romano, criado, segundo as lendas, por Rómulo, cerca de 7 ou 8 séculos antes da Era  Cristã. A intenção era substituir os antigos calendários lunares, uma vez que os meses lunares faziam variar as datas das estações e das festividades religiosas, mesmo as pagãs, criando uma confusão em que ninguém se entendia.
Esse primeiro calendário romano tinha 10 meses, de 30 ou 31 dias, deixando fora  dois meses de inverno.

A seguir a origem dos nomes dos meses do ano:

Janeiro	Deriva do nome do deus Jano, o qual era representado com duas caras, uma olhando o ano que acaba e outra o que prinicipia.
Fevereiro	Mês do festival de Februália (purificação dos pecados), em Roma.
Março	Deriva do nome do deus Marte, deus da guerra e da justiça, da força e dos instintos básicos e masculino, por excelência.
Abril	Derivado do latim Aperire (por ser a época em que a terra se abre para produzir os seus frutos). Possível referência à primavera no Hemisfério Norte.
Maio	Acredita-se que se origine do nome de Maia, deusa do crescimento das plantas.
Junho	Mês que homenageia a deusa Juno, protetora das mulheres.
Julho	No primeiro calendário romano, que era de 10 meses, era chamado de quintilis (5º mês). Foi rebatizado posterirmente em homenagem ao imperador Júlio Cesar.
Agosto	Inicialmente nomeado de sextilis (6º mês), mudou em homenagem a César Augusto.
Setembro	Era o sétimo mês no primeiro calendário romano. Vem do latim septem.
Outubro	Na contagem dos romanos, era o oitavo mês.
Novembro	Vem do latim novem (nove).
Dezembro	Era o décimo mês do primeiro calendário romano.

 

Francisco Ismael Reis.

14/06/2009.

O problema das idades

O problema:

Ao perguntar a idade do professor, um aluno recebeu do mesmo a seguinte “charada”: Juntos temos sete vezes a idade que você tinha quando eu tinha o dobro da idade que você tem. Daqui a dez anos eu terei o dobro da idade que você tiver. Se “P” é a idade do professor, e “A” a idade do aluno, determinar “P” e “A”.

 
A solução:

Pela leitura do enunciado, podemos concluir a existência de três situações: uma presente, uma passada e uma futura.

Para melhor compreenssão dessas três situações, vamos utilizar o gráfico a seguir, representando a linha do tempo:

    Na situação presente, a idade do professor será representada por P e a do aluno por A;
    Na situação passada, a idade do professor será representada por P – X e a do aluno por A – X;
    Na situação futura, a idade do professor será representada por P + 10 e a do aluno por A + 10.

    Na situação presente o professor diz ao aluno:
Juntos temos sete vezes a idade que você tinha.
O que se traduz por: P + A = 7(A – X).
     Na situação passada, segundo o professor:
Quando eu tinha o dobro da idade que você tem.
O que se traduz por: P – X = 2A.
    Na situação futura:
Daqui a dez anos eu terei o dobro da idade que você tiver.
O que se traduz por: P + 10 = 2(A + 10).

Resolvendo, por qualquer processo, o sistema:

encontraremos que  P = 50  e  A = 20.

 

Francisco Ismael Reis

31/05/2009.

O dodecaedro

O número de faces de um dodecaedro, o 4.° dos sólidos platônicos, é 12. Ele tem também 20 vértices e 30 arestas, sendo dual do icosaedro. Se os pontos médios das faces vizinhas de um dodecaedro regular forem unidos, por exemplo, eles formam um icosaedro regular.

O icosaedro regular pode ser visto como um antiprisma com extremos pentagonais, mais duas pirâmides pentagonais. Não é surpreendente que a pre­sença de pentágonos regulares signifique também a presença da secção dourada. Em particular, se arestas opostas do antiprisma forem unidas, são obtidos 3 retângulos cujos lados estão no quociente dourado, com ângulos retos entre eles.

É um fato extraordinário, que à primeira vista parece absurdo, que, se um dodecaedro e um icosaedro estiverem ambos inscritos em esferas idênticas, o dodecaedro ocupe um volume maior, embora o icosaedro tenha mais faces e pareceria, por isso, naturalmente «encaixar melhor». De fato, o dodecaedro ocupa aproximadamente 66,5 % da esfera, enquanto o icosaedro ocupa apenas 60,56 %.

O dodecaedro rômbico, descrito pela primeira vez por Kepler, também tem 12 faces. Imagine cubos empacotados para preencher um espaço. Os 6 cubos adjacen­tes a um outro podem ser cortados em 6 pirâmides, unindo os seus centros aos vértices. Se estas pirâmides forem coladas às faces do seu cubo, cada cubo torna-se um dodecaedro rômbico e o empacotamento de dodecaedros rômbicos preen­che o espaço completamente, tal como os cubos o fariam, com a diferença de que cada dodecaedro rômbico tem o dobro do volume dos cubos correspondentes.

Wells, David. Dicionário de números interessantes e curiosos. Ed. Gradiva, 1996.

 

30/05/2009.

Sobre números

Número 

 Um símbolo que representa uma quantidade, uma grandeza, uma posição, uma medida. Os símbolos utilizados podem ser de algarismos (26), de letras (vinte e seis) ou outros (lA), sendo que este último é uma mistura de letras e números e corresponde ao número 26 na base hexadecimal.

Número Aleatório 

Número escolhido ao acaso.

Número Amigável 

Número amigável é um par de números onde um deles é a soma dos divisores do outro. Como exemplo, os divisores de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma é 284. Por outro lado, os divisores de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220.
Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416.
Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.

Número Ascendente 

Um número natural é chamado número ascendente se cada um dos seus algarismos é estritamente maior do que qualquer um dos algarismos colocados à sua esquerda. Por exemplo, o número 3589.

Número Capicua ou Palíndromo

Um número é capicua ou palíndromo quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446 e 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua.

Número Cardinal 

É o número de elementos de um conjunto. a característica associada ao número cardinal é a cardinalidade.

Número Cíclico

Cíclicos são números que multiplicados por outro valor menor ou igual ao número de dígitos de que ele possui, seus números vão se repetindo ciclicamente, passando para o final aqueles que estão na frente.

Por exemplo: O primeiro número cíclico é o 142857.
Se este número (que possui seis dígitos) for multiplicado pelos números de 1 a 6 obtemos:
2 x 142857 = 285714  (o 1 e o 4 foram passados para o final)
3 x 142857 = 428571 (o 1 passa para o final)
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142

Se multiplicarmos por 7 o que obtemos é 999999. Isto não é uma casualidade. Esse número (142857) é a parte periódica da divisão 1/7.

O próximo número cíclico é o 0588235294117647.
Se multiplicarmos este número pelos números de 1 a 16 acontece o mesmo que com o anterior. Se o multiplicarmos por 17 resulta em 99999999999999999.

Esses números são raros de encontrar. Outra característica curiosa destes números é a forma que se pode obtê-los:

Pegamos um número primo e calculamos seu inverso (1/p). Se a parte decimal é periódica e o período possui tantos dígitos quanto o número primo menos 1, então este é um número cíclico. Quando dividimos 1/7 se obtém 0,142857142857142857. Note que é periódico e que o período possui seis dígitos

Número Composto

É um número que tem mais do que dois divisores naturais distintos, tais como 4, 6, 12, 15, 49.

Número Decimal

Número no qual a parte inteira é separada da parte decimal por uma vírgula.

Número de Euler 

Número irracional, valor da base dos logaritmos naturais. Seu valor é calculado por

  

Número de Mersenne

São números inteiros da forma M_p = 2^p -1. Se M_p é um número primo, o numero p também é. Só são conhecidos 33 números de Mersenne. O último descoberto corresponde a p = 859 433, cujo número de Mersenne é o 2⁸⁵⁹⁴³³ - 1. Não se sabe se há um número infinito deles.

Número de Ouro

O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618.

É obtido pela expressão:

Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia.

Número Ímpar 

Um número inteiro que não é múltiplo de 2.
Exemplos de tais números são:

..., –7, –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9, ...

Número Inteiro 

Números inteiros são os números naturais e seus opostos, reunidos ao zero. ...,

–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

Número Irracional

Um número que não pode ser escrito sob a forma da divisão de dois números inteiros, tais como:

π = 3,14159 26535

e = 2,71828...

Número Misto

São números que misturam a escrita dos números naturais com a escrita de frações.

Número Natural 

Números naturais são aqueles provenientes dos processo de contagem na natureza. Existe discussão sobre o fato do 0 (zero) ser considerado um número natural uma vez que este foi criado pelos hindús para dar sentido à nulidade de algo.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

Número Ordinal 

O ordinal de um número exprime sua posição em uma sequência, tal como primeiro, segundo, terceiro, vigésimo.

Número Par 

Um número inteiro que é múltiplo de dois.

Exemplos de tais números são:

..., –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, ...

Número Primo 

Um número inteiro maior do que 1, que não é divisível por qualquer outro número exceto por ele e por 1. Um número primo tem somente dois divisores naturais diferentes.

Número Racional 

Um número que pode ser colocado sobre a forma de uma fração, sendo que o numerador e o denominador devem ser dois números inteiros e o denominador não pode ser zero (0).

Número Real

 Todos os números que podem ser marcados em uma reta, a reta real. Compreende os inteiros, os fracionários (conjunto dos racionais) e ainda os irracionais.

Números Regulares

Um número é dito regular se sua decomposição em fatores primos apresenta apenas potências de 2, 3 e 5.

Números Complexos 

São números da forma a + bi onde a é a parte real e b o coeficiente da parte imaginária definindo-se:

i =

Números de Fermat 

Números da forma:

Números Negativos 

Todos números menores que zero.

Números Positivos 

Todos os números maiores que zero.

Números Pitagóricos 

São os inteiros que cumprem a equação de Pitágoras a² + b² = c² . Por exemplo: 3, 4 e 5.

Números Romanos 

Tipo de algarismos usado pelos romanos com a utilização de letras. Ainda hoje bastante utilizados por exemplo, para designar os séculos. Neste sistema um algarismo de  menor valor colocado à esquerda subtrai ao maior: 9 é representado por 10 - 1 (IX), 90 por 100 - 10 (XC) . Se o algarismo menor está à direita do maior soma-se: 11= 10 + 1 (XI).

Números Transcendentes 

São os números que não são algébricos. Não existe nenhum polinômio de coeficientes inteiros de que sejam raiz. O número Pi, por exemplo, é um número transcendente porque não se pode obtê-lo como raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros. Os números transcendentes são infinitos e há muito mais do que números algébricos (que são aqueles que se podem obter como raiz de um polinômio de coeficientes inteiros). Raiz de 3 é um número algébrico, já que é solução da equação x² - 3 = 0.

30/05/2009.