O problema das bolas misturadas

Depois de pequena pausa, o homem da camisa vermelha apagou o cigarro e contou-nos o caso. Fui obrigado a ouvi-lo do princípio ao fim. Não houve outro remédio. Seria difícil arranjar um pretexto para sair. Um motivo qualquer, aceitável, para fugir.

E o tal homem, sem mais preâmbulos, sentou-se na minha frente, desapertou a gravata e narrou o seguinte:

– Para a noite da grande festa no clube, planejado o sorteio, preparei três urnas de madeira. Na primeira, com a etiqueta P (um P maiúsculo, azul, bem visível), coloquei dez bolas pretas; na segunda, com a etiqueta B ( um B amarelo, maiúsculo, deste tama­nho), coloquei dez bolas brancas; e, na terceira, finalmente, colo­quei  a etiqueta M. Esse M (em preto) significava misturadas. Está entendendo? Eram, ao todo, trinta bolas. Veja só: Trinta bolas!

 

Preparei tudo, como disse, para a festa. As três urnas foram cuidadosamente fechadas. Pois sabe o que fez o meu amigo Oscar Quental? De brincadeira, para provocar confusão (queria divertir­se à  minha custa) trocou as etiquetas das três urnas. Trocou tudo. Não havia uma que estivesse com a etiqueta certa.

Fiquei furioso com o caso. Furioso mesmo. Ia ser obrigado a abrir novamente as três urnas e verificar, uma por uma, quais as bolas nelas contidas. Contei o caso a um professor amigo, sócio do clube, que é matemático. Disse-me o professor: "Não é necessário abrir as urnas. Basta, de uma delas, retirar uma bola – uma bola só! – e o problema das três urnas, com as trinta bolas, estará totalmente resolvido."

Confesso que não acreditei no matemático. E não acreditei mesmo. Os matemáticos, às vêzes, são exagerados e fantasistas. Como poderia ele, com a retirada de uma bola de uma urna, descobrir a cor das vinte bolas das outras urnas?

Que fez o professor? Veja só.

Tomou a urna M, onde deveriam estar as bolas misturadas, e disse:

– Como as etiquetas estão trocadas esta urna deve conter as dez bolas brancas ou as dez bolas pretas. As misturadas, não. Vamos abrir esta urna e tirar dela uma bola. Tirar, apenas, uma bola.

Retirada a bola verificamos que era branca.

– Já sabemos – prosseguiu – que esta urna, falsamente indicada M é, agora, a urna das bolas brancas. É a antiga urna B.

– E as outras duas? – perguntei – Como vamos descobrir? Vamos abri-las?

Explicou o professor:

– Não vamos abrir mais nada. Vamos descobrir, pelo raciocínio, isto é, pela Matemática.

E tomando a urna onde, falsamente, estava P assim falou com segurança:

– Esta urna P, como as etiquetas estão trocadas, não contém, é claro, as bolas pretas; não contém, também, as brancas que estão na urna M, como já provamos. Ora, não contendo nem as pretas, nem as brancas, deve conter as misturadas. Está, assim, resolvido o caso da segunda urna. Quanto à terceira, indicada erradamente com a etiqueta M, não contém as brancas, nem as misturadas. Deve conter, por exclusão, as bolas pretas.

Estava, assim, com a retirada de uma bola (e só de uma bola) resolvido o problema das três urnas com as trinta bolas.

Mais tarde, antes da festa, perguntei ao Oscar Quental:

– Por que você foi fazer aquela brincadeira da troca das etiquetas?

Respondeu-me o Quental com um risinho maldoso:

– Era só para ver se você seria capaz de quebrar o galho e resolver o problema das trinta bolas sem abrir as três urnas.

– Só isso?

– Sim. Só isso.

– Ora, bolas!

 

Malba Tahan, As maravilhas da Matemática, Editora Record, 1973.