Números perfeitos

Os divisores do número 28 são 1, 2, 4, 7, 14 e 28. Excluindo-se desse conjunto de divisores o número 28, os que sobram, ou seja, 1, 2, 4, 7 e 14, são chamados de divisores próprios do número 28, portanto:

Os divisores próprios de um número inteiro e positivo são todos os divisores desse número diferentes do próprio número.

 

Ainda no caso do número 28, observe que a soma de seus divisores próprios, 1 + 2 + 4 + 7 + 14 , vale 28. Quando issso ocorre, dá-se a esse número o nome de número perfeito, logo:

Número perfeito é aquele número inteiro e positivo cuja soma dos divisores próprios é igual a esse número.

 

Além dos números perfeitos, existem também as denominações de números deficientes e números abundantes.

Um número é deficiente quando a soma de seus divisores próprios é menor que o número. Um exemplo de número deficiente é o 15. Os divisores de 15 são 1, 3, 5 e 15. Seus divisores próprios são 1, 3 e 5. Observe que 1 + 3 + 5 = 9,  que é menor que 15. Logo, o número 15 é um número deficiente.

Se, por outro lado, a soma dos divisores próprios de um número é maior que esse número, o mesmo é chamado de número abundante. É o caso do número 18, que tem como divisores os números 1, 2, 3, 6, 9 e 18. A soma de seus divisores próprios vale 21, portanto maior que 18.

Os quatro primeiros números perfeitos: 6, 28, 496 e 8128, já eram conhecidos na Grécia Antiga e Euclides (360 a.C. — 295 a.C.) mostrou ser possível obtê-los pela fórmula :

2p – 1. (2p – 1)

na qual p é um número primo e o segundo fator, (2^p – 1), deve resultar em um número primo.

De fato, a fórmula se apresenta verdadeira para os quatro primeiros números perfeitos, veja:

para p= 2 –> 2¹(2² - 1) = 6
para p = 3 –>  2²(2³- 1) = 28
para p = 5 –> 2⁴(2⁵ - 1) = 496
para p = 7 –> 2⁶(2⁷ - 1) = 8.128

 

Era de se esperar que com essa fórmula fosse possível obter qualquer número perfeito. A linha de raciocínio era a seguinte :

– se ela nos fornece o primeiro número perfeito (6) ao utilizarmos nela o primeiro número primo (p = 2);

– se ela nos fornece o segundo número perfeito (28) ao utilizarmos o segundo número primo (p = 3);

– então,  será de se esperar que o quinto número perfeito seja obtido ao utilizarmos nela o quinto número primo (p = 11). 

Porém, nesse ponto, a fórmula falha, uma vez que para p = 11, o segundo fator da fórmula fica:

2¹¹ - 1 = 2047

e 2047 não é um número primo, visto que é o produto de 23 por 89. (Vale relembrar que o segundo fator da fórmula, deve resultar em número primo).

Brinque um pouco com o joguinho a seguir:

 

 

Para melhor visualização do jogo, clique no link a seguir:

 http://nautilus.fis.uc.pt/mn/perfeitos/index.html

Francisco Ismael Reis.

 
29/12/2008