O problema dos nove copos

Sobre uma mesa estão colocados enfileirados nove copos, conforme mostra a figura:

Inverte-se, sucessivamente e um de cada vez, a posição de seis desses copos. Um copo invertido ficará ao contrário se antes estava direito, e vice-versa.
Num primeiro movimento, inverte-se a posição do seis últimos copos que ficam assim distribuídos:

Num segundo movimento, inverte-se a posição dos seis primeiros:

Num terceiro movimento, invertem-se seis copos a partir do segundo:

Num quarto movimento, vamos inverter seis copos, a partir do terceiro:

E assim, sucessivamente.

A questão é

Quantos movimentos sucessivos são necessários para que todos os nove copos fiquem na posição contrária àquela em que se encontravam originalmente?

Solução:
Vamos substituir por +1 os copos que estão com a boca voltada para cima (direitos) e por –1 os que estão com a boca voltada para baixo (invertidos) e multiplicar os valores assim obtidos.
De inicio temos:

Após o primeiro movimento:

Após o segundo movimento teremos:

Após o terceiro:

E após o quarto:

Observe que, após a inversão de seis dos nove copos, o produto, em qualquer situação é sempre +1, isto porque em cada movimento mudamos os sinais de uma quantidade par de números.

Supondo que todos os copos estivessem invertidos, teríamos a seguinte situação:

Algo que, como mostramos anteriormente, nunca ocorrerá, uma vez que, após a inversão dos seis primeiros copos, o produto é sempre igual a +1. Dessa maneira, o problema não tem solução.

Francisco Ismael Reis

16/03/2019