quarta-feira, 29 de julho de 2009

Régua de calcular


Pelos idos de 1600, Edmund Gunter (1581-1628), matemático e astrônomo inglês, provavelmente por trabalhar com muitos cálculos e utilizar com frequência as tabelas de logaritmos – uma novidade da época¹ –, com o propósito de facilitar suas idas e vindas a essas tabelas, teve a ideia de gravar em uma tábua de madeira uma escala de logaritmos. Com o auxílio de um compasso e dessa “escala”, percebeu o quão simples era efetuar a soma dos logaritmos de dois números.
Regua_GUNTER
Clique na imagem para ampliá-la
Essa simples ideia rapidamente se espalhou por toda a Europa e William Oughtred (1574-1660) outro matemático inglês (que introduziu o símbolo x nos cálculos matemáticos), teve a ideia de utilizar duas “escalas de Gunter”, gravadas, cada uma delas, em duas peças de madeira distintas que deslizavam uma sobre a outra. Este procedimento não apenas eliminou a necessidade do uso do compasso, com também tornou os cálculos mais rápidos e  precisos.
ReguaAstonAndMander
Richard Delamain (1600-1644), um dos alunos de Oughtred, apresentou, em 1630, uma régua de calcular circular que consistia em dois discos concêntricos, com as escalas logarítmicas gravadas nas bordas.
ReguaCircFe ReguaCircular
O cursor móvel, com uma haste transparente, foi incorporado à régua de cálculo em 1850 por Amedee Mannheim (1831-1906), um oficial francês. Essa melhoria facilitou muito o trabalho de interligação entre as escalas, deixando as réguas com a aparência que têm até hoje.
ReguaCalc
Até à década de 70 as réguas de cálculo logarítmicas constituíam um instrumento imprescindível para engenheiros, matemáticos, físicos e estudantes de maneira geral. Com o aparecimento das calculadoras eletrônicas, muito mais práticas, rápidas e precisas nos cálculos, as réguas de calcular caíram rapidamente em desuso.
Para mais informações visite os seguintes sites:
International slide rule museum
Para visualizar uma régua de calcular virtual, clique nos links a seguir:
Régua de calcular virtual (1)
Régua de calcular virtual (2)
Francisco Ismael Reis.
AssinaturaFundoCla
29/07/2009.
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¹ Em 1617, Briggs publicou a primeira versão de sua própria lista de logaritmos comuns, contendo os logaritmos com 8 dígitos de todos os inteiros inferiores a 1.000. Em 1624 ele publicou ainda outra, "Aritmética Logarítmica", contendo os logaritmos de todos os inteiros de 1 a 20.000 e de 90.000 a 100.000, juntos com uma introdução que explicava a história, a teoria e o uso dos logaritmos.

segunda-feira, 27 de julho de 2009

Poema com números

 

cerebro humano

O cérebro humano é particularmente complexo e extenso. Ele é imovel e representa apenas 2% do peso do corpo, mas, apesar disso, recebe aproximadamente 25% de todo o sangue que é bombeado pelo coração.

É sensacional a capacidade que o nosso cérebro apresenta para ler coisas que nem imaginamos.

De aorcdo com uma pqsieusa de uma uinrvesriddae ignlsea, não ipomtra em qaul odrem as lrteas de uma plravaa etãso, a úncia csioa iprotmatne é que a piremria e útmlia lrteas etejasm no lgaur crteo. O rseto pdoe ser uma ttaol bçguana que vcoê cnocseguee anida ler sem pobrlmea. Itso é poqrue nós não lmeos cdaa ltrea szoinha, mas a plravaa cmoo um tdoo.



 

Outro exemplo muito interessante é apresentado a seguir. Sua leitura, no início, pode exigir um pouco de esforço devido à falta de costume, mas não desista.

 PoemaNum1 

  
27/07/2009.

sábado, 25 de julho de 2009

Você sabia – 02 …

 

 

Francisco Ismael Reis.

AssinaturaFundoCla_thumb[1]

24/07/2009.

O maior número primo

 

G1   

   O Portal de Notícias da Globo

 

29/09/08 - 07h07 - Atualizado em 29/09/08 - 10h48

Cientistas definem número primo com 13 milhões de dígitos

Maior primo do mundo é o segundo a ultrapassar os 10 milhões de dígitos.

Da BBC

Matemáticos americanos se qualificaram para receber um prêmio de USS 100 mil por encontrar um número primo - que só pode ser dividido por um e por si mesmo - com quase 13 milhões de dígitos.

O prêmio da Electronic Frontier Foundation (EFF) era oferecido há quase dez anos para a primeira equipe de cientistas capazes de encontrar um número primo de Mersenne - em homenagem ao matemático francês Marin Mersenne, que os popularizou no século 17 - com mais de 10 milhões de dígitos.

Os primos de Mersenne seguem a fórmula 2 elevado à potência "p" menos 1, sendo que "p" é em si um número primo.

clip_image002[6]

No fim do mês passado, um computador na Universidade da Califórnia definiu o 45° primo de Mersenne conhecido: 2 elevado à 43.112.609a potência menos 1, com 12.978.189 de dígitos.

clip_image002[16]

No dia 6 de setembro, o 48° primo de Mersenne conhecido foi encontrado por uma equipe em Langenfeld, perto de Colônia, na Alemanha: 2 elevado à 37.156.667a potência menos 1, com

11.185.272 de dígitos.

clip_image002[18]

O numeral encontrado pelos alemães foi o primeiro primo de Mersenne a ser descoberto fora de ordem desde que os matemáticos Colquitt e Welsh definiram 2 elevado à 110.503a potência menos 1.

clip_image002[20]

A busca por um primo de Mersenne com mais de dez milhões de dígitos já durava quase dez anos.

Cientistas dizem que o exercício tem a importância indireta de abrir espaço para a criação de teoremas e hipóteses matemáticas, promover pesquisas cooperativas na internet e incentivar o

gosto pela pesquisa cientifica, entre outros efeitos.

Os coordenadores das duas pesquisas, Edson Smith e Hans-Michael Elvenich, faziam parte da rede Gimps (iniciais em inglês para Grande Busca de Primos de Mersenne na Internet), formada em 1996 para descobrir "agulhas num palheiro" - números primos gigantescos - operando 29 trilhões de cálculos simultâneos.

Do total da recompensa, USS 50 mil irão para os matemáticos da Universidade da Califórnia, que venceram a corrida proposta pela EFF. outros US$ 25 mil serão doados para entidades de caridade, e o restante, dividido entre os descobridores dos primos de Mersenne anteriores.

Leia mais notícias de Ciência e Saúde

http://g1.globo.com/Noticias/Ciencia/0,,MRP777282-5603,00.html

Clique aqui para ver o Portal Globo Ciência e Saúde

sexta-feira, 24 de julho de 2009

Bits

 

São muito comuns, em informática, termos do tipo 8 bits, 16 bits, 32 bits, etc …

Mas, qual o significado da palavra bit?

O bit (binary digit) é a menor unidade na notação binária, a menor unidade de informação que um computador entende. Um bit é um pulso eletrônico que pode representar um sinal ligado ou um sinal desligado. Pode, portanto, ser representado por um 1 ou um 0.

BitImage Sendo um computador um dispositivo eletrônico, tudo que ele faz é baseado nesses uns e zeros.

O texto a seguir foi extraído do livro Web design para não-designers, de Robin Williams e John Tollett, editora Ciência Moderna, pags. 156 e 157.

“A tela de um computador é dividida em pequenos pixels¹, ou elementos de quadro. Esses pixels ligam e desligam, branco ou preto, dependendo dos bits de informação enviados a eles.

Há muito, muito tempo, algo como 1985, os nossos monitores tinham pixels que não eram muito espertos. Eram chamados de monitores de 1-bit, porque os pixels só podiam entender um bit de informações de cada vez. Com apenas um bit de informação, um pixel só podia ser de uma de duas "cores" — preto ou branco, ligado ou desligado.

Mais tarde, os monitores e pixels ficaram mais espertos. Digamos que você tenha um monitor de 2 bits. Significa que cada pixel pode entender dois bits de informações de uma vez. Com dois bits de informações enviados a um pixel, aquele pixel poderia ser uma de quatro "cores". Ele teria estas escolhas: 1 1, 0 0, 1 0 ou 0 1. Em outras palavras, ambos os bits poderiam estar ligados, ambos os bits poderiam estar desligados, um ligado/um desligado ou um desligado/um ligado. (Uma dessas cores é sempre preta e a outra é sempre branca.)

Assim, se você tiver um monitor de 4 bits, cada pixel entende 4 bits de informações de uma vez. Com 4 bits você pode organizar aqueles 2 sinais ligado/desligado de 16 maneiras diferentes. Na ilustração a seguir, cada coluna representa um pixel, cada caixa branca representa um sinal ligado e cada caixa preta representa um sinal desligado. Cada pixel pode ter um total de quatro bits. Isso se chama profundidade de pixel.

Bit

Há uma fórmula matemática para descobrir quantas cores diferentes um pixei pode exibir. Você verá essa fórmula com freqüência, portanto pode muito bem entendê-la: cada pulso eletrônico, cada bit, fornece 2 peças de informações, um 1 ou um 0, certo? Isto é, igual a 2. Se for um monitor de 4 bits, digamos, então a fórmula é 2 (pulsos) para a 4- força (quatro bits), escrita como 24. Se você tiver esquecido a matemática do segundo grau (a maioria de nós esqueceu), esse 24 significa multiplicar 2x2, multiplicar aquilo por 2, depois por 2 (um total de quatro vezes).

Então, vamos ao ponto de tudo isso: quantas cores um pixel pode mostrar se tiver 8 bits? Bem, 28 é 256. Assim, um gráfico de 8 bits tem 256 cores. Um monitor de 8 bits só pode exibir 256 cores. Uma imagem em escala cinza (preto e branco) de 8 bits pode exibir até 256 tonalidades de cinza.

Um gráfico ou monitor de 16 bits pode exibir 65.536 cores. E uma imagem gráfica ou monitor de 24 bits pode exibir 16,7 milhões de cores. Foi fácil, não?”

Francisco Ismael Reis.

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24/07/2009.

 

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¹ menor unidade ou ponto de um monitor de vídeo cuja cor ou brilho pode ser controlado.

quarta-feira, 22 de julho de 2009

Você sabia – 01 …

 

 

Francisco Ismael Reis.

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22/07/2009.

terça-feira, 21 de julho de 2009

Bhaskara

 

Uma das fórmulas mais conhecidas em Matemática é, sem dúvida, a fórmula de Bhaskara, utilizada com o propósito de encontrar as raízes de uma equação do 2º grau.

 

 

Bhaskara Akaria, que viveu entre 1114 e 1185, foi o último matemático medieval de grande importância da Ìndia. Filho de uma tradicional família de astrólogos, deu continuidade ao ramo profissional da família, ocupando, por suas reconhecidas qualidades profissionais, o cargo de diretor do Observatório de Ujjain, na época, o maior centro de pesquisas matemáticas e astronômicas da Índia.

Os seus manuscritos estão divididos em quarto partes:

  • Lilavati (A Bela) sobre aritmética;
  • Bijaganita sobre a álgebra;
  • Goladhyaya sobre a esfera, ou seja sobre o globo celeste;
  • Grahaganita sobre a matemática dos planetas.

Seu livro mais conhecido recebeu o nome de Lilavati em homenagem à sua única filha. Reza a lenda que, em suas predições astrológicas, Bhaskara teria calculado o dia e a hora que seriam Lilavatimais apropriados para o casamento da filha. No dia em que deveria ocorrer o casamento, a jovem, ansiosa, debruçou-se sobre um relógio de água. Sem perceber, uma pérola que enfeitava seus cabelos, caiu e deteve o fluxo de água. Com isso, o tempo passou e a filha, com medo de maus presságios, não pode se casar. Para consolar e perpetuar o nome da infeliz donzela, o pai, deu ao livro em questão o nome de Lilavati.

Não era usual, até o fim do século XVI, representar os coeficientes de uma equação por letras. Tal procedimento somente foi adotado a partir de François Viéte, matemático francês que viveu de 1540 a 1603, muitos anos depois de Bhaskara.

É um erro, portanto, atribuir a Bhaskara a autoria da conhecida fórmula de resolução de uma equação do 2º grau, erro que, de maneira alguma, diminui a importância e a riqueza da obra desse grande matemático indiano.

Francisco Ismael Reis.

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21/07/2009.

quarta-feira, 8 de julho de 2009

Teorema do salário

 

Quanto menos culta é uma pessoa, mais dinheiro ela tem.

 

Antes de demonstrar esse teorema, vou explicar o significado de alguns termos, comuns em demonstrações matemáticas:

  • Axioma
    Um axioma é uma sentença ou proposição que não é provada ou demonstrada e é considerada como óbvia ou como um consenso inicial necessário para a construção ou aceitação de uma teoria. Por essa razão, é aceito como verdade e serve como ponto inicial para dedução e inferências de outras verdades.
  • Lema
    Em Matemática, um lema é um teorema auxiliar que é usado como um passo intermediário para atingir um resultado maior, provado em outro teorema. A palavra "lema" vem do grego λήμμα, que significa algo recebido, ganho, como um presente.

A demonstração

Para demonstrar esse teorema utilizarei 2 axiomas e 1 lema:

     Axioma 1: tempo é dinheiro
     Axioma 2: conhecimento é poder
    Lema: 

Potencia

Dos axiomas podemos concluir o seguinte:

Do axioma 1: que tempo = dinheiro.

Do axioma 2: que conhecimento = poder = potência.

Substituido essas duas conclusões no lema ficamos com:

Potencia1 
  Que equivale a:

Potencia2 

Essa relação nos mostra que conhecimento e dinheiro são inversamente proporcionais, ou seja, quanto menor o conhecimento maior a quantidade de dinheiro. Logo:

Quanto menos culta é uma pessoa, mais dinheiro ela tem.

c.q.d.   

sábado, 4 de julho de 2009

Sobre o Sudoku, você sabia que…

 

Sudoku-by-L2G-2005071o nome é a abreviação japonesa para a longa frase,suuji wa dokushin ni kagiru (数字は独身に限る) que significa os dígitos devem permanecer únicos?

Apesar do nome, o sudoku não é de orígem japonesa. Sua invenção é atribuída ao matemático suíço Leonhard Euler que, no século XVIII, criou um jogo em que os algarismos devem aparecer apenas uma vez em cada linha e em cada coluna ao qual chamou de  “quadrados latinos”.

As primeiras publicações do sudoku ocorreram nos Estados Unidos na década de 1970 e,  no Brasil, é publicado desde o início de 2005.

 Sudoku  é uma marca registrada da Nikoli Co. Ltd no Japão. Em japonês a palavra é pronunciada [sɯːdokɯ] , em português pronuncia-se sudoku.

Para saber mais, consulte:

http://pt.wikipedia.org/wiki/Sudoku

sexta-feira, 3 de julho de 2009

A coluna do meio sumiu!!!

 

Ilusão140

Repare nas colunas representadas na ilustração ao lado. Elas fazem-nos lembrar do Império Romano e dos palácios dos césares sempre muito bem protegidos pela guarda pretoriana.

Mas algo interessante ocorre nessa figura. Repare nas colunas, que na parte de inferior têm uma forma arredondada, na parte superior apresentam um formato retangular. Até aí, nada de tão anormal. Continuando com nossa investigação, percebemos que na parte de baixo existem três colunas, ao passo que na parte de cima, … apenas duas!!! A coluna do meio some, desaparece, à medida que nosso olhar caminha de baixo para cima. Como isso é possível?

 

Francisco Ismael Reis.

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03/07/2009.

De cima ou de baixo?

 
Ilusão124Acho muito bonita e intrigante a fachada dessa construção.
Intrigante, porque, dependendo do modo como a olhamos ela nos oferece, entre outras,  duas sensações diferentes e contrárias:
    que a estamos observando de baixo, se focarmos nossa atenção na parte de cima da janela;
    que a estamos observando de cima, se focarmos nossa atenção na parte de baixo da janela.
Se você der um clique na figura para poder exibi-la em tamanho natural, certamente encontrará outras situações diferentes das que descrevi. Experimente.

Francisco Ismael Reis.
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03/07/2009.

Qual é o maior?

 
Ilusão032Na figura ao lado, vemos dois bonecos que parecem correr um atrás do outro, através de um túnel. Se você deseja observar a figura com maior número de detalhes, clique sobre ela para vê-la em tamanho original.
A impressão que temos é que o perseguidor, que está atrás, é maior que o perseguido, que está à frente.
Pura ilusão de óptica, visto que os dois bonecos são do mesmo tamanho. A noção de profundidade, proporcionada pelas lihas das paredes e do piso do túnel é que nos causam essa falsa impressão.

Francisco Ismael Reis.
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03/07/2009.

Quantos pontos pretos?

 
Ilusão010A figura ao lado é formada apenas por quadrados e retângulos pretos, por linhas cinza e por círculos brancos localizados nas intersecções das linhas.
Nenhum desses elementos se encontra em movimento, entretanto, se você olhar atentamente, durante alguns segundos para essa figura, terá a impressão de que alguns pontos negros se movimentam sobre os círculos brancos.
Você será capaz de contar quantos são esses pontos pretos?
Francisco Ismael Reis.
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03/07/2009

quarta-feira, 1 de julho de 2009

A numeração dos maias

 

A civilização maia foi uMaias_Mapama cultura mesoamericana pré-colombiana, com uma rica história de 3000 anos. Contrariando a crença popular, o povo maia nunca "desapareceu", pois milhões ainda vivem na mesma região e muitos deles ainda falam alguns dialetos da língua original.

 

Maias_Totem Os maias construíram as famosas cidades de Tikal, Palenque, Copán e Calakmul, e também Dos Pilas, Uaxactún, Altún Ha, e muitos outros centros habitacionais na área. Jamais chegaram a desenvolver um império embora algumas cidades-estado independentes tenham formado ligas temporárias, associações e mesmo rápidos períodos de suserania. Os monumentos mais notáveis são as pirâmides que construíram em seus centros religiosos, junto aos palácios de seus governantes. Outros restos arqueológicos muito importantes são as chamadas estelas (os maias as chamam de tetún, ou "três pedras"), monolitos de proporções consideráveis que descrevem os governantes da época, sua genealogia, seus feitos de guerra e outros grandes eventos, gravados em caracteres hieroglíficos.

Para melhor entender o processo de numeração dos maias, vamos lembrar que o nosso sistema de numeração é  decimal (base 10), isto é, nós contamos, agrupando os objetos de dez em dez, dessa maneira, a quantidade 5125, pode ser escrita como:

5125Dec 
O nosso sistema de numeração é posicional, isto significa que o valor de um algarismo, depende da posição que ele ocupa no numeral do número, dessa maneira, no número 5125, o 5 da esquerda tem valor 5000 ao passo que o da direita tem valor 5.

unidades de milhar   centenas   dezenas   unidades    

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clip_image002[24]   clip_image002[24]   clip_image002[24]   clip_image002[24]    
5   1   2   5    
=   =   =   =    
5000 + 100 + 20 + 5 = 5125

 

O sistema de numeração adotado pelos maias era vigesimal, ou seja de base 20, portanto, nesse sistema, os objetos a serem contados eram agrupados de vinte em vinte, assim sendo, a quantidade 5125, pode ser escrita como:

5125Maia

Os maias representavam os números utilizando apenas três símbolos: o ponto, para representar a unidade, a barra, que representava 5 unidades e a concha, representando o zero, um grande avanço praticado por essa civilização, visto que outras, a exemplo da romana, não possuiam um símbolo para o zero.

MaiasCom o ponto e a barra combinados, conseguiam escrever os algarismos até 19, seguindo duas regras (veja na figura ao lado):
    Os números de 1 a 4 são formados com a combinação dos pontos, ou seja, para o número 1, utiliza-se um ponto, para o algarismo 2, usam-se 2 pontos, sendo um colocado do lado do outro, etc.

    O número 5 é representado por uma barra, sendo que estas são combinadas em no máximo 3, sendo colocadas uma acima da outra.

A partir do 20, os números eram representados verticalmente. através de uma combinação de pontos e barras, levando em conta a posição que símbolo ocupa no numeral do número, de maneira parecida com aquela que utilizamos em nosso sistema de numeração.

Retomando o exemplo do número 5125, seu numeral, escrito no sistema de numeração dos maias, é representado na forma vertical e lido de cima para baixo, conforme se mostra na tabela a seguir:

clip_image002 clip_image002[8] image
clip_image002[4] clip_image002[10] image
clip_image002[6] clip_image002[12] image
   

5125

 

 5125Maia 

 

 

 

 

Para saber mais visite:

 http://pt.wikipedia.org/wiki/Civiliza%C3%A7%C3%A3o_maia

 

Francisco Ismael Reis.

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01/07/2009.