domingo, 31 de maio de 2009

O problema das idades

O problema:

Ao perguntar a idade do professor, um aluno recebeu do mesmo a seguinte “charada”: Juntos temos sete vezes a idade que você tinha quando eu tinha o dobro da idade que você tem. Daqui a dez anos eu terei o dobro da idade que você tiver. Se “P” é a idade do professor, e “A” a idade do aluno, determinar “P” e “A”.

 
A solução:

Pela leitura do enunciado, podemos concluir a existência de três situações: uma presente, uma passada e uma futura.

Para melhor compreenssão dessas três situações, vamos utilizar o gráfico a seguir, representando a linha do tempo:

    Na situação presente, a idade do professor será representada por P e a do aluno por A;
    Na situação passada, a idade do professor será representada por P – X e a do aluno por A – X;
    Na situação futura, a idade do professor será representada por P + 10 e a do aluno por A + 10.

image


    Na situação presente o professor diz ao aluno:
Juntos temos sete vezes a idade que você tinha.
O que se traduz por: P + A = 7(A – X).
     Na situação passada, segundo o professor:
Quando eu tinha o dobro da idade que você tem.
O que se traduz por: P – X = 2A.
    Na situação futura:
Daqui a dez anos eu terei o dobro da idade que você tiver.
O que se traduz por: P + 10 = 2(A + 10).

Resolvendo, por qualquer processo, o sistema:

clip_image002

encontraremos que  P = 50  e  A = 20.

 

Francisco Ismael Reis

AssinaturaFundoCla

31/05/2009.

sábado, 30 de maio de 2009

O dodecaedro

Dodecaedro

O número de faces de um dodecaedro, o 4.° dos sólidos platônicos, é 12. Ele tem também 20 vértices e 30 arestas, sendo dual do icosaedro. Se os pontos médios das faces vizinhas de um dodecaedro regular forem unidos, por exemplo, eles formam um icosaedro regular.

Icosahedron

O icosaedro regular pode ser visto como um antiprisma com extremos pentagonais, mais duas pirâmides pentagonais. Não é surpreendente que a pre­sença de pentágonos regulares signifique também a presença da secção dourada. Em particular, se arestas opostas do antiprisma forem unidas, são obtidos 3 retângulos cujos lados estão no quociente dourado, com ângulos retos entre eles.

É um fato extraordinário, que à primeira vista parece absurdo, que, se um dodecaedro e um icosaedro estiverem ambos inscritos em esferas idênticas, o dodecaedro ocupe um volume maior, embora o icosaedro tenha mais faces e pareceria, por isso, naturalmente «encaixar melhor». De fato, o dodecaedro ocupa aproximadamente 66,5 % da esfera, enquanto o icosaedro ocupa apenas 60,56 %.

O dodecaedro rômbico, descrito pela primeira vez por Kepler, também tem 12 faces. Imagine cubos empacotados para preencher um espaço. Os 6 cubos adjacen­tes a um outro podem ser cortados em 6 pirâmides, unindo os seus centros aos vértices. Se estas pirâmides forem coladas às faces do seu cubo, cada cubo torna-se um dodecaedro rômbico e o empacotamento de dodecaedros rômbicos preen­che o espaço completamente, tal como os cubos o fariam, com a diferença de que cada dodecaedro rômbico tem o dobro do volume dos cubos correspondentes.

Wells, David. Dicionário de números interessantes e curiosos. Ed. Gradiva, 1996.

 

30/05/2009.

Sobre números

 

     Número 

 Um símbolo que representa uma quantidade, uma grandeza, uma posição, uma medida. Os símbolos utilizados podem ser de algarismos (26), de letras (vinte e seis) ou outros (lA), sendo que este último é uma mistura de letras e números e corresponde ao número 26 na base hexadecimal.

     Número Aleatório 

Número escolhido ao acaso.

     Número Amigável 

Número amigável é um par de números onde um deles é a soma dos divisores do outro. Como exemplo, os divisores de 220 são: 1, 2, 4, 5, 10, 11, 20, 22, 44, 55 e 110 cuja soma é 284. Por outro lado, os divisores de 284 são: 1, 2, 4, 71 e 142 e a soma deles é 220.
Fermat descobriu também o par 17.296 e 18.416.
Descartes descobriu o par 9.363.584 e 9.437.056.

     Número Ascendente 

Um número natural é chamado número ascendente se cada um dos seus algarismos é estritamente maior do que qualquer um dos algarismos colocados à sua esquerda. Por exemplo, o número 3589.

     Número Capicua ou Palíndromo

Um número é capicua ou palíndromo quando lido da esquerda para a direita ou da direita para a esquerda representa sempre o mesmo valor, como por exemplo 77, 434, 6446 e 82328. Para obter um número capicua a partir de outro, inverte-se a ordem dos algarismos e soma-se com o número dado, um número de vezes até que se encontre um número capicua.

     Número Cardinal 

É o número de elementos de um conjunto. a característica associada ao número cardinal é a cardinalidade.

     Número Cíclico

Cíclicos são números que multiplicados por outro valor menor ou igual ao número de dígitos de que ele possui, seus números vão se repetindo ciclicamente, passando para o final aqueles que estão na frente.

Por exemplo: O primeiro número cíclico é o 142857.
Se este número (que possui seis dígitos) for multiplicado pelos números de 1 a 6 obtemos:
2 x 142857 = 285714  (o 1 e o 4 foram passados para o final)
3 x 142857 = 428571 (o 1 passa para o final)
4 x 142857 = 571428
5 x 142857 = 714285
6 x 142857 = 857142

Se multiplicarmos por 7 o que obtemos é 999999. Isto não é uma casualidade. Esse número (142857) é a parte periódica da divisão 1/7.

O próximo número cíclico é o 0588235294117647.
Se multiplicarmos este número pelos números de 1 a 16 acontece o mesmo que com o anterior. Se o multiplicarmos por 17 resulta em 99999999999999999.

Esses números são raros de encontrar. Outra cracterística curiosa destes números é a forma que se pode obtê-los:

Pegamos um número primo e calculamos seu inverso (1/p). Se a parte decimal é periódica e o período possui tantos dígitos quanto o número primo menos 1, então este é um número cíclico. Quando dividimos 1/7 se obtém 0,142857142857142857. Note que é periódico e que o período possui seis dígitos

     Número Composto

É um número que tem mais do que dois divisores naturais distintos, tais como 4, 6, 12, 15, 49.

     Número Decimal

Número no qual a parte inteira é separada da parte decimal por uma vírgula.

     Número de Euler 

Número irracional, valor da base dos logaritmos naturais. Seu valor é calculado por

 image 

     Número de Mersenne

São números inteiros da forma Mp = 2p -1. Se Mp é um número primo, o numero p também é. Só são conhecidos 33 números de Mersenne. O último descoberto corresponde a p = 859 433, cujo número de Mersenne é o 2859433 - 1. Não se sabe se há um número infinito deles.

     Número de Ouro

O número de ouro não é mais do que um valor numérico cujo valor aproximado é 1,618.

É obtido pela expressão

clip_image002

Este número irracional é considerado por muitos o símbolo da harmonia.

     Número Ímpar 

Um número inteiro que não é múltiplo de 2.
Exemplos de tais números são:

..., –7, –5, –3, –1, 1, 3, 5, 7, 9, ...

     Número Inteiro 

Números inteiros são os números naturais e seus opostos, reunidos ao zero. ...,

–3, –2, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, ...

     Número Irracional

Um número que não pode ser escrito sob a forma da divisão de dois números inteiros, tais como:
clip_image002[12]
e
= 2,71828...

     Número Misto

São números que misturam a escrita dos números naturais com a escrita de frações.

image

     Número Natural 

Números naturais são aqueles provenientes dos processo de contagem na natureza. Existe discussão sobre o fato do 0 (zero) ser considerado um número natural uma vez que este foi criado pelos hindús para dar sentido à nulidade de algo.

1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, ...

     Número Ordinal 

O ordinal de um número exprime sua posição em uma sequência, tal como primeiro, segundo, terceiro, vigésimo.

     Número Par 

Um número inteiro que é múltiplo de dois.

Exemplos de tais números são:

..., –6, –4, –2, 0, 2, 4, 6, 8, ...

     Número Primo 

Um número inteiro maior do que 1, que não é divisível por qualquer outro número exceto por ele e por 1. Um número primo tem somente dois divisores naturais diferentes.

     Número Racional 

Um número que pode ser colocado sobre a forma de uma fração, sendo que o numerador e o denominador devem ser dois números inteiros e o denominador não pode ser zero (0).

     Número Real

 Todos os números que podem ser marcados em uma reta, a reta real. Compreende os inteiros, os fracionários (conjunto dos racionais) e ainda os irracionais.

     Números Regulares

Um número é dito regular se sua decomposição em fatores primos apresenta apenas potências de 2, 3 e 5.

     Números Complexos 

São números da forma a + bi onde a é a parte real e b o coeficiente da parte imaginária definindo-se: clip_image002[21]

     Números de Fermat 

Números da forma clip_image002[23]

     Números Negativos 

Todos números menores que zero.

     Números Positivos 

Todos os números maiores que zero.

     Números Pitagóricos 

São os inteiros que cumprem a equação de Pitágoras a2 + b2 = c2 . Por exemplo: 3, 4 e 5.

     Números Romanos 

Tipo de algarismos usado pelos romanos com a utilização de letras. Ainda hoje bastante utilizados por exemplo, para designar os séculos. Neste sistema um algarismo de  menor valor colocado à esquerda subtrai ao maior: 9 é representado por 10 - 1 (IX), 90 por 100 - 10 (XC) . Se o algarismo menor está à direita do maior soma-se: 11= 10 + 1 (XI).

     Números Transcendentes 

São os números que não são algébricos. Não existe nenhum polinômio de coeficientes inteiros de que sejam raiz. O número Pi, por exemplo, é um número transcendente porque não se pode obtê-lo como raiz de nenhum polinômio de coeficientes inteiros. Os números transcendentes são infinitos e há muito mais do que números algébricos (que são aqueles que se podem obter como raiz de um polinômio de coeficientes inteiros). Raiz de 3 é um número algébrico, já que é solução da equação x2 - 3 = 0.

 

30/05/2009.

quinta-feira, 21 de maio de 2009

A Bênção do Sol

 

A cada 28 anos, período de duração do ciclo solar, os judeus recitam uma benção especial – Bircat Ha’Chamá, a Bênção do Sol.

 

home_sol1

 

A cada 28 anos, o sol completa um ciclo e volta ao lugar que ocupava quando foi criado por D'us, no quarto dia da Criação. 

De acordo com o Talmud, o calendário judaico é baseado na opinião de Mar Shmuel, um dos grandes Sábios da época dos Amoraim - a geração que sucedeu os Tanaim. No judaísmo há uma combinação entre o calendário lunar e solar de tal modo que a festa de Pessach, que segue o cálculo lunar, cai sempre na estação da primavera. Já que a diferença entre o calendário lunar, de 354 dias, e o solar, de 365 dias, é de 11 dias, por isso a cada 2 ou 3 anos acrescentamos mais um mês de Adar. Para ser mais exato, segundo Mar Shmuel, o ano solar dura 365 dias e mais um quarto de dia, ou seja, 52 semanas, um dia e um quarto.

Os astrônomos definem um ano solar como sendo o período entre dois inícios consecutivos de uma mesma estação - por exemplo, dois inícios da primavera - e sua duração corresponde ao tempo que a Terra leva para completar uma volta em torno do Sol: aproximadamente 365 dias solares e seis horas.

Para entender como calcular o ciclo solar de 28 anos, consideremos que o Equinócio da Primavera - isto é, a data em que o dia e a noite duram exatamente o mesmo tempo (12 horas) - caia numa 3ª. feira, às 18h00. Como o ano solar dura 365 dias mais um quarto de dia, o Equinócio da Primavera do ano seguinte ocorrerá numa 4ª. feira, à meia-noite (52 semanas, um dia e seis horas depois). No ano seguinte, o Equinócio da Primavera cairá numa 6ª. feira, às 6h00. Só depois de 28 anos é o que o sol retornará para o Equinócio da Primavera novamente em uma 3ª. feira, às 18h00.

Para marcar esse momento, nossos Sábios instituíram uma bênção especial, na qual expressamos nosso reconhecimento a D'us por Ele ter criado o mundo. A bênção é a seguinte: "Bendito és Tu, Eterno, nosso D' us, Rei do Universo, que efetivas a obra da Criação".

Há um motivo para que o o Equinócio da Primavera, ocorrido numa 3ª.feira às 18h00, seja escolhido como ponto de partida de nossos cálculos - o primeiro mês do ano hebraico, Nissan, se inicia no Equinócio da Primavera, e, segundo a Torá, o Sol foi posto em órbita durante o Equinócio da Primavera, que ocorreu no quarto dia da Criação, às 18h00. Temos que lembrar, também, que o primeiro dia da semana judaica é o domingo e o dia no judaísmo se inicia com o pôr-do-sol. O quarto dia da Criação, quando o sol foi posto em órbita, iniciou-se, portanto, numa 3ª. feira à noite, às 18h00. Assim sendo, sempre que o sol alcança novamente este ponto de partida, às 18h00 de uma 3a. feira - e isto só se dá em intervalos de 28 anos - a Bênção do Sol, o Birkat Ha'Chamá, é recitada na manhã seguinte, ao amanhecer.

Este texto foi extraído do artigo A Bênção do Sol de autoria do Rabino Avraham Cohen publicado na Revista Morashá Edição 63 - dezembro de 2008.

Para saber mais consulte:

http://www.morasha.com.br/conteudo/artigos/artigos_view.asp?a=783&p=0

domingo, 17 de maio de 2009

Fórmula matemática define o rosto perfeito

 

Vitruvio

Os antigos gregos foram os primeiros a observar que animais e plantas crescem de acordo com leis matemáticas. Então, pensaram eles, só deve haver uma maneira de resolver o problema da estética: equacionar os padrões de beleza e transformá-los em fórmulas matemáticas. Porém, foi somente depois de muitos séculos que o gênio renascentista Leonardo da Vinci descobriu a medida exata da beleza humana, conhecida como proporção áurea.
Segundo essa equação, o corpo e o rosto, quando são bonitos, apresentam uma determinada proporção matemática: de 1 para 1,618. Esta seria a relação de equilíbrio e simetria ideais para um corpo ou um rosto humano serem considerados bonitos. Levando em conta essa regra, a largura da boca é 1,618 maior do que a largura do nariz. E a largura da boca ideal, por sua vez, deve ser 1,618 maior do que a distância entre seu canto externo e a ponta da bochecha.
Até os dentes entram no esquema. Assim, a largura do dente incisivo central deve ser 1,618 maior do que a largura do incisivo lateral. Ou seja: a simetria facial, universalmente encarada como um fator determinante de saúde e beleza para homens e mulheres, poderia se resumir na proporção ideal de 1 para 1,618.

 

Publicado no Portal Terra em 17/05/2009.

Fórmula matemática define o rosto perfeito