domingo, 30 de novembro de 2008

O problema dos 35 camelos

 

Onde é narrada a singular aventura dos 35 camelos que deviam ser repartidos por três árabes. Beremiz Samir efetua uma divisão que parecia impossível, contentando plenamente os três querelantes.

 

Poucas horas havia que viajávamos sem interrupção, quando nos ocorreu uma aventura digna de registro, na qual meu Camelos35companheiro Beremiz, com grande talento, pôs em prática as suas habilidades de exímio algebrista. Encontramos, perto de um antigo caravançarã (1) meio abandonado, três homens que discutiam acaloradamente ao pé de um lote de camelos. Por entre pragas e impropérios gritavam possessos, furiosos:

- Não pode ser !
- Isto é um roubo !
- Não aceito !

O inteligente Beremiz procurou informar-se do que se tratava.

- Somos irmãos - esclareceu o mais velho - e recebemos, como herança, esses 35 camelos. Segundo a vontade expressa de meu pai, devo receber a metade, o meu irmão Hamed Namir uma terça parte e ao Harim, o mais moço, deve tocar apenas a nona parte. Não sabemos, porém, como dividir dessa forma 35 camelos e a cada partilha proposta segue-se a recusa dos outros dois, pois a metade de 35 é 17 e meio. Como fazer a partilha se a terça parte e a nona parte de 35 também não são exatas?

- É muito simples - atalhou o Homem que Calculava. - Encarrego-me de fazer, com justiça, essa divisão, se permitirem que eu junte aos 35 camelos da herança este belo animal que, em boa hora, aqui nos trouxe!

Neste ponto, procurei intervir na questão:

- Não posso consentir em semelhante loucura! Como poderíamos concluir a viagem, se ficássemos sem o camelo?
- Não te preocupes com o resultado, ó bagdali! - replicou-me em voz baixa Beremiz.
- Sei muito bem o que estou fazendo. Cede-me o teu camelo e verás no fim a que conclusão quero chegar.

Tal foi o tom de segurança com que ele falou, que não tive dúvida em entregar- lhe o meu belo jamal, (2) que, imediatamente, foi reunido aos 35 ali presentes, para serem repartidos pelos três herdeiros.

- Vou, meus amigos - disse ele, dirigindo-se aos três irmãos - fazer a divisão justa e exata dos camelos que são agora como vêem, em número de 36.

E, voltando-se para o mais velho dos irmãos, assim falou:

- Deverias receber, meu amigo, a metade de 35, isto é, 17 e meio. Receberás a metadede 36 e, portanto, 18. Nada tens a reclamar, pois é claro que saíste lucrando com esta divisão!

E, dirigindo-se ao segundo herdeiro, continuou:

- E tu, Hamed Namir, deverias receber um terço de 35, isto é, 11 e pouco. Vais receber um terço de 36, isto é, 12. Não poderás protestar, pois tu também saíste com visível lucro na transação.

E disse, por fim, ao mais moço:

- E tu, jovem Harim Namir, segundo a vontade de teu pai, deverias receber uma nona parte de 35, isto é, 3 e tanto. Vais receber a nona parte de 36, isto é, 4. O teu lucro foi igualmente notável. Só tens a agradecer-me pelo resultado!

E concluiu com a maior segurança e serenidade:

- Pela vantajosa divisão feita entre os irmãos Namir - partilha em que todos sairam lucrando - couberam 18 camelos ao primeiro, 12 ao segundo e 4 ao terceiro, o que dá um resultado (18+12+4) de 34. Dos 36 camelos, sobram, portanto, dois. Um pertence, como sabem, ao bagdali, meu amigo e companheiro, outro toca por direito a  mim, por ter resolvido, a contento de todos, o complicado problema da herança!

- Sois inteligente, ó Estrangeiro! - exclamou o mais velho dos três irmãos. - Aceitamos a vossa partilha na certeza de que foi feita com justiça e eqüidade!

E o astucioso Beremiz - o Homem que Calculava - tomou logo posse de um dos mais belos "jamales" do grupo e disse-me, entregando-me pela rédea o animal que me  pertencia:

- Poderás agora, meu amigo, continuar a viagem no teu camelo manso e seguro. Tenho outro, especialmente para mim!

E continuamos nossa jornada para Bagdá.

 

___________

(1) Caravançará - Refúgio construído pelo governo ou por pessoas piedosas à beira do caminho, para servir de abrigo aos peregrinos. Espécie de rancho de grandes dimensões em que se acolhiam as caravanas.

(2) Jamal - Uma das muitas denominações que os árabes dão ao camelo.

 

Malba Tahan. O Homem que calculava, Editora Record, 1985.

sábado, 29 de novembro de 2008

Pelas escadas acima ...

Vou fazer-te uma pergunta curiosa. Considera todos os números 1, 2, 3, 4, 5, ... Uns são ímpares, 1, 3, 5, 7, ... , e outros são pares, 2, 4, 6, 8, ... Pode perguntar-se: Há mais pares que ímpares, ou o contrário? A resposta é simples e imediata: ao 1, ímpar, segue-se o 2, par; ao ímpar seguinte, 3, segue-se o par seguinte, 4... A situação é clara. Podes pôr cada ímpar de braço dado com o par que se lhe segue. Assim, metade dos números são ímpares e metade pares. Há tantos ímpares como pares.
Continuemos. Considera agora, por um lado, todos os números: 1, 2, 3, 4, 5, ... e, por outro, todos os números pares: 2, 4, 6, 8, ... Perguntemos de novo: Quais são mais, os números todos ou os números pares?
A tua primeira ideia será com certeza mais ou menos assim : Ora essa! Nem todos os números são pares. Basta olhar para 1, 3, 5... Portanto, há mais números que números pares. Mas pensa um pouco no que fizeste atrás quando comparaste pares e ímpares. Puseste cada ímpar de braço dado com um único par e disseste: Há tantos pares como ímpares. Será que aqui não podes fazer algo parecido? Pensa um pouco...
Sim! Percebeste imediatamente. Cada número par pode dividir-se por 2 (claro!). Assim, obtemos os casais (ver figura abaixo).

clip_image001

Na fila de cima estão todos os números pares na de baixo todos os números, e as setas indicam qual é par de qual: os números pares são tantos como os números todos!
Que disparate é este? Provavelmente foi isto que Galileu pensou quando estas idéias, que constituem o que hoje chamamos paradoxo de Galileu, lhe passaram pela cabeça pela primeira vez. Euclides, Aristóteles e o senso comum de todos os tempos tinham dito sempre que o todo é maior que a parte. Os números pares obtêm-se pegando em todos os números e tirando os ímpares e, portanto, são parte de um todo. Mas nós pusemos agora mesmo cada número par de braço dado com um único número, e nenhum número ficou sem o seu parceiro par, o que torna claro que são tantos os números pares como os números todos.
Um paradoxo é uma situação mental que se nos depara quando, raciocinando de um modo claramente justificado, chegamos a uma conclusão, e, raciocinando de outro modo, que nos parece igualmente justificado com a mesma clareza, chegamos à conclusão oposta.
Um paradoxo não é uma desgraça, é uma grande oportunidade, pois indica que há algo de profundo por baixo de toda a questão que não compreendemos bem e que nos pode levar a mundos novos. Os colegas de Niels Bohr, um dos grandes físicos do nosso tempo, ouviram-no uma vez murmurar, no meio de um problema difícil: "Ótimo! Encontrámos um paradoxo. Agora é que podemos ter esperança de progredir". Galileu não foi mais longe nos seus pensamentos sobre o paradoxo dos números pares. Provavelmente tinha muitas outras coisas para pensar que lhe interessavam mais. Mais de dois séculos passaram até Georg Cantor se ocupar deste assunto, pegando no dilema de frente: "Há mais números naturais do que números pares... Há tantos números naturais como números pares... O todo é maior que a parte..." O que é que significa "haver mais"...? Quando afirmo que um monte é maior que uma sua parte, quero dizer que posso separar esta parte e ainda fica qualquer coisa no monte. Quando afirmo que há tantos pares como naturais, estou a dizer que os posso emparelhar um a um, e não fica nenhum número natural nem nenhum número par sem parceiro.
Há portanto duas maneiras diferentes de comparar.
Consideremos o conjunto de coisas A e o conjunto de coisas B. Há tantas coisas em A como em B quando se pode emparceirar cada coisa de A com uma coisa de B de forma que não fique nenhuma de A nem de B sem parceiro e, além disso, nenhuma coisa de A seja parceiro de duas coisas distintas de B, nem nenhuma coisa de B esteja emparceirada com coisas distintas de A. Isto admite uma expressão mais sofisticada e assustadora em termos de aplicações bijectivas e todas essas coisas, mas penso que a idéia que nos vai interessar já se entende com o que está escrito.
Quando cada coisa de A se pode emparceirar com uma única coisa de B, mas, faça-se como se fizer, em B ficam sempre coisas sem parceiro, é evidente que B tem mais coisas que A.
Esta maneira de comparar, enunciada por Cantor, é a que se presta a um desenvolvimento matemático adequado. Porquê? Porque integra um critério operativo bastante manejável: Há tantas coisas em A como em B quando podemos usar as coisas de B para etiquetar correctamente as de A, isto é, para colocar em cada coisa de A como etiqueta, uma coisa de B distinta sem que, ao fazê-lo, nos sobrem etiquetas (coisas de B).
Euclides, por seu lado, também tinha razão com aquilo de o todo A ser maior que a parte B, entendendo por isso que, se B é uma parte de A, é porque as coisas de B são coisas de A e, além disso, há outras de A que não são de B. Mas isto está tão perto de ser uma tautologia que dificilmente se poderia usar para alguma coisa de interessante em matemática.

Miguel de Guzmán. Aventuras Matemáticas, Pág. 65, Editora Gradiva, Lisboa - Portugal, 1990.

2 = 1? Por que não?

Após dois meses de intenso trabalho com minhas classes de 3º ano do EM, estudando números complexos, sua propriedades e operações, tanto na forma algébrica quanto na forma trigonométrica, apliquei uma prova em que uma das questões apresentava o seguinte enunciado:

No polinômio P(x) = x3 – x2 + 4x – 4  uma das raízes é 2i, onde i é a unidade imaginária  (i2 = –1). Encontre todas as raízes do polinômio.

Uma equação do terceiro grau de coeficientes reais, apresenta três raízes, sendo que, ou as três são reais, ou uma é real e duas são imaginária. Se 2i é uma de suas raízes imaginárias, então 2i, será outra. Falta, portanto, achar a terceira raiz, que é real.

O que me deixou intrigado, não foi o fato de determinado aluno não ter conseguido achar as raízes do polinômio, que era o que o exercício pedia.

O que me deixou intrigado foi que, após uma página inteira de exaustivos cálculos, esse aluno,  chegou à conclusão que:

  clip_image002[5]

Só faltou, por parte desse aluno, um comentário do tipo:

–"Professor, o senhor me enganou durante esse tempo todo com a história de que i2 = –1".

Ora, se esse aluno, conseguiu provar que a unidade imaginária vale 1/3, eu vou me atrever a provar que 2 = 1. Senão vejamos:

clip_image002[7]

Brilhante, não é mesmo?!

Francisco Ismael Reis.

sexta-feira, 28 de novembro de 2008

Curiosidades numéricas

Veja como são interessantes as operações efetuadas a seguir e seus resultados:

1 x 8 + 1 = 9
12 x 8 + 2 = 98
123 x 8 + 3 = 987
1234 x 8 + 4 = 9876
12345 x 8 + 5 = 98765
123456 x 8 + 6 = 987654
1234567 x 8 + 7 = 9876543
12345678 x 8 + 8 = 98765432
123456789 x 8 + 9 = 987654321

1 x 9 + 2 = 11
12 x 9 + 3 = 111
123 x 9 + 4 = 1111
1234 x 9 + 5 = 11111
12345 x 9 + 6 = 111111
123456 x 9 + 7 = 1111111
1234567 x 9 + 8 = 11111111
12345678 x 9 + 9 = 111111111
123456789 x 9 +10= 1111111111

9 x 9 + 7 = 88
98 x 9 + 6 = 888
987 x 9 + 5 = 8888
9876 x 9 + 4 = 88888
98765 x 9 + 3 = 888888
987654 x 9 + 2 = 8888888
9876543 x 9 + 1 = 88888888
98765432 x 9 + 0 = 888888888

Observe agora essa simetria:
1 x 1 = 1
11 x 11 = 121
111 x 111 = 12321
1111 x 1111 = 1234321
11111 x 11111 = 123454321
111111 x 111111 = 12345654321
1111111 x 1111111 = 1234567654321
11111111 x 11111111 = 123456787654321
111111111 x 111111111=12345678987654321

A necessidade de medir

Qual a distância que separa a sua casa de sua escola?clip_image002

Qual a altura daquele edifício?

Qual o seu peso?

Qual a quantidade de água contida naquela piscina?

Qual a área daquele terreno?

Perguntas como essas fazem-se presentes no dia-a-dia de todo ser humano desde as épocas mais remotas. Todas elas estão associadas à idéia de medir. Mas, o que significa medir? Medir é uma palavra de origem latina – metire – e significa, de acordo com o Médio Dicionário Aurélio, "Determinar ou verificar, tendo por base uma escala fixa, a extensão ou grandeza de algo". De maneira mais simplificada, medir é comparar duas grandezas de mesma espécie. Assim sendo, quando você vai efetuar uma medida você pode comparar comprimento com comprimento, massa com massa, volume com volume, capacidade com capacidade, mas não fará sentido você comparar, por exemplo, massa com volume.

Dessa maneira, se à primeira pergunta que fizemos – Qual a distância que separa a sua casa de sua escola? – você der como resposta 800 metros, o que você fez nada mais foi do que comparar a distância da sua casa até à sua escola, com uma outra, que é considerada como unidade padrão das medidas de comprimento, e concluir que uma cabe 800 vezes na outra. Portanto, medir é comparar quantas vezes a grandeza que é considerada como unidade padrão cabe naquela que se deseja determinar.

clip_image006 Em 1960, com o propósito de unificar e padronizar as diferentes unidades de medidas até então em uso, a comunidade cientifica internacional, se reuniu na França, para a Conferência Geral sobre Pesos e Medidas, e para cada grandeza a ser medida, definiu um símbolo e uma unidade padrão, que estão regulamentadas pelo assim chamado Sistema Internacional de Unidades (abrevia-se SI), que passou a ser adotado pela maioria dos países, inclusive pelo Brasil. Entre elas podemos destacar:

 

Grandeza Unidade padrão Símbolo
Comprimento metro m
Área metro quadrado m2
Volume metro cúbico m3
Capacidade litro L
Massa quilograma kg

 

Nem sempre, entretanto, as coisas foram assim tão bem organizadas como hoje. Os primeiros instrumentos de medição utilizados pelo homem eram bem rudimentares e surgiram da comparação que este fazia entre aquilo que queria medir e partes do seu próprio corpo. Foi assim que se originaram, comoclip_image002[6] instrumentos e como unidades de medida, o pé, o palmo, a polegada, a braça, a jarda, etc, algumas das quais em uso, ainda hoje, por alguns países, não exatamente da mesma maneira e com os mesmos valores com que surgiram. É evidente que a adoção dessas medidas como padrão trazia algumas conseqüências desagradáveis, visto que, existindo pés de tamanhos diferentes, existiam diferentes valores para uma mesma grandeza, o que gerava uma grande confusão. Dessa clip_image010maneira, a largura de uma avenida poderia ser de 300 pés, se os pés utilizados para se efetuar essa medida fossem os do Ivan, que por ser uma pessoa bem alta, tem os pés muito grandes. Essa mesma avenida, entretanto, teria 400 pés de largura, se os pés agora utilizados fossem os do Nicolau, que por ser bem mais baixo que o Ivan, tem pés bem menores e mais delicados.

 

Francisco Ismael Reis.

Matemática lírica

Às folhas tantas
do livro matemático
um Quociente apaixonou-se
um dia
doidamente
por uma Incógnita.
Olhou-a com seu olhar inumerável
e viu-a do ápice à base
uma figura ímpar;
olhos rombóides, boca trapezóide,
corpo retangular, seios esferóides.
Fez de sua uma vida
paralela à dela
até que se encontraram
no infinito.
"Quem és tu?", indagou ele
em ânsia radical.
"Sou a soma do quadrado dos catetos.
Mas pode me chamar de Hipotenusa."
E de falarem descobriram que eram
(o que em aritmética corresponde
a almas irmãs)
primos entre si.
E assim se amaram
ao quadrado da velocidade da luz
numa sexta potenciação
traçando
ao sabor do momento
e da paixão
retas, curvas, círculos e linhas sinoidais
nos jardins da quarta dimensão.
Escandalizaram os ortodoxos das fórmulas euclidiana
e os exegetas do Universo Finito.
Romperam convenções newtonianas e pitagóricas.
E enfim resolveram se casar
constituir um lar,
mais que um lar,
um perpendicular.
Convidaram para padrinhos
o Poliedro e a Bissetriz.
E fizeram planos, equações e diagramas para o futuro
sonhando com uma felicidade
integral e diferencial.
E se casaram e tiveram uma secante e três cones
muito engraçadinhos.
E foram felizes
até aquele dia
em que tudo vira afinal
monotonia.
Foi então que surgiu
O Máximo Divisor Comum
freqüentador de círculos concêntricos,
viciosos.
Ofereceu-lhe, a ela,
uma grandeza absoluta
e reduziu-a a um denominador comum.
Ele, Quociente, percebeu
que com ela não formava mais um todo,
uma unidade.
Era o triângulo,
tanto chamado amoroso.
Desse problema ela era uma fração,
a mais ordinária.
Mas foi então que Einstein descobriu a Relatividade
e tudo que era espúrio passou a ser
moralidade
como aliás em qualquer
sociedade.

Millor Fernandes

domingo, 23 de novembro de 2008

O googol

Edward Kasner, matemático da Universidade da Columbia, em 1938, achou que a centésima potência do número 10, ou seja, o número 1 seguido de 100 zeros, merecia receber um nome especial. Conta-se que foi seu sobrinho de apenas oito anos, Milton Sirotta, quem deu a esse número o nome de googol.
Escrever o googol por extenso, exige muita paciência e atenção, para que na sua representação não se coloquem zeros a mais ou a menos. Veja sua representação:

1 googol = 10100


10 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000 000


De magnitude muito maior que o googol, é o googolplex, também concebido por Edward Kasner e definido como dez elevado a um googol ou a unidade seguida de um googol de zeros, que por razões óbvias não representarei.

1 googolplex = 1010100


Acredita-se que o famoso site de buscas da Internet, o Google, pela enorme quantidade de informações que armazena e disponibiliza, tenha seu nome inspirado no googol.

Para saber mais acesse: http://pt.wikipedia.org/wiki/Googol

 

Francisco Ismael Reis.

sábado, 22 de novembro de 2008

Notação científica

Números que expressam quantidades muito grandes ou muito pequenas (próximas de zero), são freqüentes em diversas áreas de atuação humana.
Para um astrônomo, por exemplo, a tabela a seguir, onde se registra a distância média dos planetas do sistema solar ao Sol, é comum.


Para um químico ou um físico, os valores que representam a massa real das partículas subatômicas, anotados na tabela a seguir, fazem parte do dia-a-dia.


Trabalhar com esses números, na forma como foram apresentados nas duas tabelas anteriores, traz algumas dificuldades, entre elas o espaço que ocupam.
Com o propósito de facilitar essa tarefa, valores muito grandes ou muito pequenos são representados utilizando-se a notação científica, que consiste "no produto de um número compreendido entre 1 e 10, por uma potência de 10 adequada".
Assim, por exemplo, o número 217 pode ser escrito 2,17 x 100 ou 2,17 x 102 . Esta última é a representação em notação científica do número 217.
Já o número 0,023 pode ser escrito 2,3 : 100 ou 2,3 x(1/100) ou ainda como 2,3 x 10-2, que é a sua representação em notação científica.
Números muito grandes são representados com potências de 10, de expoente positivo, e o valor desse expoente indica a quantidade de casas que a vírgula avança para a direita quando se quer representar o número em notação convencional. Assim, no número 4,378 x 108, o expoente 8 indica que devemos caminhar com a vírgula 8 casas para a direita, a fim de encontrar a representação convencional do número. Veja:


Números muito pequenos são representados com potências de 10, de expoente negativo, e o valor desse expoente indica a quantidade de casas que a vírgula recua para a esquerda quando se quer a representação convencional desse número. Dessa maneira, para obeter a representação convencional do número 5,27 x 10–4, procedemos assim:


Veja como ficam as duas tabelas anteriores, com valores representados em notação científica:




As calculadoras científicas, dentre as diversas características que possuem, apresentam a tecla EXP, cuja finalidade é trabalhar com números escritos em notação científica.
O visor de alguma dessas calculadoras apresenta os números em notação científica, conforme mostram os desenhos a seguir.


Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V8, Editora Moderna, 1996.

Porcentagem

Harlen E. Amundson

A porcentagem passou a ser utilizada no final do século XV em questões comerciais, como cálculo de juros, lucros e prejuízos e impostos. A idéia, porém, teve origem muito antes. Quando o imperador romano Augusto estabeleceu um imposto sobre todas as mercadorias em hasta pública, centesima rerum venalium, a taxa era 1/100. Outras taxas romanas eram de 1/20 sobre cada escravo libertado e 1/25 sobre cada escravo vendido. Sem reconhecer porcentagens como tal, os romanos usavam frações facilmente redutíveis a centésimos.

Na Idade Média, na medida em que unidades monetárias maiores entraram em uso, 100 tornou-se uma base comum para a computação. Manuscritos italianos do século XV continham expressões como "20 p 100", "x p cento" e "vi p co" para indicar 20 por cento, 10 por cento e 6 por cento. Quando apareceram aritméticas comerciais, perto do final desse mesmo século, o uso da porcentagem já estava bem estabelecido. Por exemplo, Giorgio Chiariano (1481) usava "xx . per . c" para representar 20 por cento e "viii in x perceto" para 8 a 10 por cento. Durante os séculos XVI e XVII, usava-se porcentagem amplamente para calcular lucros, prejuízos e lucros.

O sinal de porcentagem, %, provavelmente proveio de um símbolo introduzido num manuscrito italiano anônimo de 1425. Em vez de "per 100" ou "P cento", que eram comuns naquele tempo, o autor usou "P ". Por volta de 1650 o torna-se , sendo "per ", usado com freqüência. Finalmente o "per" foi suprimido, permanecendo ou %.[1]

[1] Tópicos da História da Matemática - Para uso em sala de aula. v. 2, Computação, Harold T. Davis, Atual, Cápsula 15, págs. 64 e 65

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V6, Editora Moderna, 1996.


Como surgiram o + e o – ?

Existem algumas lendas que ilustram de forma bem interessante o surgimento dos sinais + e – . Vamos citar duas delas, por sinal, bem parecidas.

A primeira:

Havia, já lá se vão muitos anos, numa cidade da Alemanha, um homem que negociava com vinhos. Recebia esse homem, diariamente, vários tonéis de vinho. Os tonéis que chegavam do fabricante eram cuidadosamente pesados. Se o tonel continha mais vinho do que devia, o homem marcava-o com um sinal em forma de cruz: (+). Esse sinal indicava "mais", isto é, "mais vinho", um "excesso". Se ao tonel parecia faltar uma certa porção de vinho, o homem assinalava-o com um pequeno traço (–). Tal sinal indicava "menos", isto é, "menos vinho", uma "falta". Desses dois sinais, usados outrora pelo mercador de vinho (diz a lenda), surgiram os símbolos + e – empregados hoje no mundo inteiro, pelos matemáticos e calculistas.[1]

A segunda:

Era uma vez um porto ...

As caixas no armazém do cais deviam conter certo número de peças e um funcionário as conferia. Por exemplo: quando faltavam 2 peças na caixa, o funcionário nela escrevia: "minus 2". Quando havia excesso de 3 peças, ele escrevia: "plus 3" (em latim, "minus" é menos e "plus" significa "mais").

Com o tempo, "minus" teria sido abreviado para m. Com a correria do dia-a-dia, o m teria descambado para e, finalmente, para -. Assim, –3 indicava a falta de 3 peças.

Da mesma forma, plus teria se transformado em p, depois em e, finalmente, em +. Assim, + 5 indicava a presença de 5 peças a mais.[2]



[1] Malba Tahan - As Maravilhas da Matemática - pág. 29-30 - Edições Bloch - 1973.

[2] Imenes - Jakubo - Lellis - Números Negativos - pág. 16-17 - Ed. Atual - 1992.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V6, Editora Moderna, 1996.

Pitágoras e os números irracionais

Pitágoras, filósofo e matemático grego, natural da ilha de Samos, acredita-se ter vivido entre os anos 580 a.C. e 500 a.C. Entre os seus feitos está o da fundação de uma escola em Crotona, na Magna Grécia. Os membros dessa escola, chamados de pitagóricos acreditavam na existência de uma harmonia básica na natureza que podia ser expressa por meio das relações entre os números inteiros.

Pitágoras, estudando os triângulos retângulos, descobriu a relação que existe entre as medidas dos lados desse tipo de triângulo. Essa relação estabelece que "em todo triângulo retângulo, a soma dos quadrados das medidas dos catetos é igual ao quadrado da medida da hipotenusa" e é conhecida até hoje como teorema de Pitágoras, constituindo-se num dos principais teoremas da geometria plana.


Chamando-se a a medida da hipotenusa, b e c as medidas dos catetos, o teorema de pitágoras é traduzida por:







Assim sendo, num triângulo retângulo em que os catetos medem 3 cm e 4 cm, é fácil determinar a medida x da hipotenusa, pois:



Com base na relação de Pitágoras, é possível fazer a representação geométrica de alguns números irracionais.

Suponhamos um triângulo retângulo de catetos medindo uma unidade de comprimento cada um. A medida x da hipotenusa será:


e é um número irracional.
Na reta numerada a localização de pode ser feita conforme mostra a figura a seguir:
Construímos um triângulo retângulo OAC cujos catetos medem uma unidade de comprimento. Como vimos, a hipotenusa OA desse triângulo medirá unidades de comprimento. Com o auxílio de um compasso, transportamos para a reta numerada a medida do comprimento da hipotenusa. Obtemos o segmento OB de medida , ficando dessa maneira determinada a localização do número na reta numerada.
De forma semelhante, podemos obter a localização de outros números irracionais na reta numerada.


Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V7, Editora Moderna, 1996.






quinta-feira, 20 de novembro de 2008

O alfabeto grego

O alfabeto utilizado para escrever a língua grega teve o seu desenvolvimento por volta do século IX a.C., utilizando-se até aos nossos dias, tanto no grego moderno como também na Matemática, Astronomia, etc.

Anteriormente, o alfabeto grego foi escrito mediante um silabário, utilizado em Creta e zonas da Grécia continental como Micenas ou Pilos entre os séculos XVI a.C. e XII a.C. e conhecido como linear B. O Grego que reproduz parece uma versão primitiva dos dialectos Arcado-cipriota e Jónico-ático, dos quais provavelmente é antepassado, e é conhecido habitualmente como Micenico.

Crê-se que o alfabeto grego deriva duma variante do semítico, introduzido na Grécia por mercadores fenícios. Dado que o alfabeto semítico não necessita denotar as vogais, ao contrário da língua grega e outras da família indo-europeia, como o latim e em consequência o português, os gregos adaptaram alguns símbolos fenícios sem valor fonético em grego para representar as vogais. Este fato pode considerar-se fundamental e tornou possível a transcrição fonética satisfatória das línguas Europeias.



Nome

Símbolos

 

Maiúsculas

Minúsculas

Alfa

A

a

Beta

B

b

Gama

G

g

Delta

D

d

Épsilon

E

e

Zeta

Z

z

Eta

H

h

Téta

Q

q

Iota

I

i

Capa

K

k

Lambda

L

l

Miu

M

m

Niu

N

n

Csi

X

x

Omicron

O

o

Pi

P

p

R

r

Sigma

S

s

Tau

T

t

Upsilon

U

u

Fi

F

j

Chi

C

c

Psi

Y

y

Omega

W

w





Para saber mais: http://pt.wikipedia.org/wiki/Alfabeto_grego

terça-feira, 18 de novembro de 2008

O retângulo áureo

Chama-se retângulo áureo qualquer retângulo ABCD (Figura 1) com a seguinte propriedade: se dele suprimirmos um quadrado, como ABFE, o retângulo restante, CDEF, terá os lados com medidas proporcionais às medidas dos lados do retângulo original.





Se a e a + b são os comprimentos dos lados do retângulo, a definição acima se traduz na relação:


É possível, através da realização de alguns cálculos, se mostrar que as medidas dos lados de um retângulo áureo estão entre si assim como 1 está para 1,618. Equivale dizer que um retângulo de dimensões 1m por 1,618 m é um retângulo áureo (Figura 2).




O retângulo áureo tem sido considerado por arquitetos e artistas como o retângulo mais bem proporcionado e de grande valor estético, sendo encontrado no formato da maior parte dos livros, jornais, revistas, cartões-postais etc. O retângulo áureo também aparece nas fachadas de muitos edifícios que se distinguem pela elegância de suas linhas arquitetônicas.
O Pártenon , ou templo da deusa Atena, uma das mais admiradas obras da arquitetura universal, revela, em seu frontispício (Figura 3) um quase exato retângulo áureo. Todavia, não há evidência histórica de que, ao construir o templo no século V a.C., os arquitetos de Péricles tenham, conscientemente, usado o retângulo áureo.1




1Texto adaptado de Geraldo Ávila, in Revista do Professor de Matemática, nº 6.


Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V7, Editora Moderna, 1996.

domingo, 16 de novembro de 2008

As pérolas do Rajá

Um rajá deixou para as filhas certo número de pérolas e determinou que a divisão fosse feita do seguinte modo: a filha mais velha tiraria uma pérola e um sétimo do que restasse; viria depois a segunda e tomaria para si duas pérolas e um sétimo do restante; a seguir a terceira jovem se apossaria de três pérolas e um sétimo do que restasse. Assim sucessivamente.
As filhas mais moças queixaram-se ao juiz alegando que por esse sistema complicado de partilha seriam fatalmente prejudicadas.
O juiz - reza a tradição -, que era hábil na resolução de problemas, respondeu de imediato que as reclamantes estavam enganadas; a divisão proposta pelo velho rajá era justa e perfeita.
E ele tinha razão. Feita a partilha, cada uma das herdeiras recebeu o mesmo número de pérolas.
Pergunta-se: quantas eram as pérolas e quantas filhas tinha o rajá?1




1Malba Tahn, Matemática divertida e curiosa, Record, 1993.
Reis, Ismael. Fundamentos da Matemátiva V6, Editora Moderna, 1996.


A idade de Diofante

Diofante, matemático grego, acredita-se ter vivido por volta do ano 250 d.C. na cidade de Alexandria, onde estudou e trabalhou. Sua principal obra é a Arithmética, um tratado em 13 livros, dos quais só os seis primeiros se preservaram, consistindo em uma coleção com cerca de 150 problemas. Pouco se sabe sobre sua vida, a não ser o que consta em um problema tirado de uma coleção datada do 5º ou 6º século intitulada "Antologia Grega".

"Deus lhe concedeu ser um menino pela sexta parte de sua vida, e somando uma duodécima parte a isto cobriu-lhe as faces de penugem; Ele lhe acendeu a lâmpada nupcial após uma sétima parte, e cinco anos após seu casamento concedeu-lhe um filho. Ai! infeliz criança tardia; depois de chegar à medida de metade da vida de seu pai, o Destino frio o levou. Depois de se consolar de sua dor durante quatro anos com a ciência dos números ele terminou sua vida".1

Se esse enigma é historicamente exato, Diofanto viveu 84 anos. Tente, mediante a montagem da equação que representa o problema e de sua resolução, comprovar esse fato.

1Carl B. Boyer, História da Matemática, Ed. Edgard Blücher Ltda. - 1994 .
Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V6, Editora Moderna, 1996.

sábado, 15 de novembro de 2008

Carta aos meus algozes

Gostaria, em primeiro lugar como cidadão e em segundo lugar como autor, de manifestar a minha estima, admiração e profundo respeito por todos aqueles que formaram essa maravilhosa equipe de avaliadores de livros de Matemática, montada pelo MEC, com o propósito de tornarem públicas suas indiscutíveis opiniões pessoais a respeito de livros didáticos de Matemática de 5a a 8a séries do ensino fundamental.
Devo confessar que me sinto a um só tempo privilegiado, honrado e chocado.
Privilegiado, pelo fato de ter tido minha coleção – Fundamentos da Matemática – avaliada e excluída por tão doutas e judiciosas pessoas, cujos comentários e críticas, feitos sempre de maneira tão criteriosa, indiscutível e inapelável encontram sustentação nos conceitos daquela que poderíamos conceber como Teoria Matemática do Etéreo. Esses conceitos, embora por mim desconhecidos, são por mim respeitados, pois pude perceber, após a leitura das críticas feitas a cada um dos livros de minha coleção, o quanto eles contribuíram para o meu crescimento intelectual e o quanto ainda tenho a aprender com os Senhores.
Honrado, por ter sido um dos excluídos. Fico imaginando a inveja que matemáticos do porte de Euclides, Arquimedes, Gauss, Newton, Pitágoras e outros tantos, não devem estar sentindo de nós, os excluídos, por não terem tido a oportunidade de terem suas obras avaliadas pelos Senhores. Com certeza, se os critérios de avaliação se mantivessem os mesmos, suas obras encontrar-se-iam também na lista das excluídas.
Chocado, com a pobreza educacional de todos aqueles professores-educadores que vivem o dia-a-dia da sala de aula e que foram responsáveis pela adoção dos livros didáticos, hoje excluídos, e que constituem a parcela maior dos livros de Matemática utilizados na rede pública e na rede particular. Com certeza, a opinião daqueles que batalham humildemente o cotidiano de uma sala de aula é insignificante quando comparada à de mestres e doutores que trancafiados em seus gabinetes estão preocupados em colocar no mercado livros de matemática cujo texto contribua para o desenvolvimento da cidadania e, talvez por isso, não percebam que muitos dos alunos que estão aprendendo nesses livros, estão, também, passando fome.
Recentemente, fiz um trabalho, como free-lancer, para uma determinada empresa. Ao receber pelo serviço prestado, fiquei tremendamente admirado ao constatar um desconto de 30% sobre o valor combinado, a título de imposto de renda. Hoje, sinto-me muito feliz por saber que parcela desse imposto é utilizada para pagar pessoas que, como os Senhores, prestam serviços relevantes ao Governo e a Comunidade.




São Paulo, 07 de junho de 1998.


Francisco Ismael Reis

As quatro cores


Para além das montanhas avermelhadas que limitam os grandes desertos da Pérsia floresceu, outrora, um pequeno país denominado Al-Sistan.
Durante largo período foi o Al-Sistan sabiamente governado por um rei bondoso e justo que se chamava Romenide.
Esse monarca, tão estimado pelos seus súditos, tinha onze filhos. Inútil será dizer que os onze príncipes, exaltados e turbulentos, ambicionavam o trono e pretendiam conquistar de qualquer modo o ouro e o poder.
No dia em que completou o seu octagésimo oitavo aniversário sentiu-se o rei Romenide gravemente enfermo.
— Logo que eu fechar os olhos para a vida — pensou o velho monarca — meus filhos, sem pesar os interesses da nação e o bem estar de meus súditos, entrarão cegamente em conflito para a conquista deste trono. Haverá lutas terríveis e as guerras civis trarão a ruína e a miséria para o meu povo.
Que fez, então, o Rei?
Mandou reunir, nos seus grandes e suntuosos aposentos, os seus onze filhos e, na presença dos ilustres vizires, nobres e altos dignatários do reino disse-lhes:
— Bem sei que poucos meses me restam de vida. E certo estou de que, por minha morte, desejarão os meus filhos dividir o meu reino em onze partes cabendo, assim, uma parte para cada um. Não sei se deva julgar oportuna ou funesta essa forma de partilha. Exijo, porém, uma condição: — A partilha do território — que atualmente constitui um só reino — deve ser feita de tal modo que quatro cores não sejam suficientes para colorir o mapa do novo país!
Os onze príncipes juraram, na presença dos nobres e vizires, que atenderiam rigorosamente à exigência feita pelo rei Romenide.
Algumas semanas depois, em conseqüência de um ataque súbito do coração, faleceu Romenide, o bondoso soberano.
Decorrido o período de luto que as grandes cerimonias exigiam, preparam-se logo os onze príncipes para a partilha das terras do Al-Sistan. E como achassem um pouco estranha a exigência paterna resolveram consultar, sobre o caso, um geógrafo famoso.
O sábio explicou:
— Se o reino for dividido em duas partes é claro que com duas cores posso preparar facilmente o novo mapa. Cada novo Estado será distinguido por uma cor. Se o Al-Sistan for dividido em três partes, bastam, é claro, três cores para a preparação perfeita do novo mapa. Se o país for dividido, porém, em quatro, em cinco ou qualquer outro número de partes, com quatro cores poderá ser colorido o novo mapa, sem que fiquem dois países vizinhos com a mesma cor.
— E se o território for dividido em onze partes? — interpelou o príncipe mais velho.
— Mesmo nesse caso — respondeu tranqüilo o geógrafo — o novo mapa, com os onze novos Estados, poderá ser colorido apenas com quatro cores distintas. E não ficarão dois países vizinhos com a mesma cor! Não vejo como fazer a divisão do país de modo que quatro cores se tornem insuficientes para o mapa!
E receoso de que as suas palavras pudessem contrariar os príncipes, acrescentou:
— Esse problema das quatro cores do mapa é um problema de alta Matemática. Acho, pois que deveis consultar um matemático ou um algebrista.
Os onze princípes, nesse mesmo dia, procuraram ansiosos o maior e mais prestigioso matemático do país.
— Seria possível — indagaram — retalhar o país em onze partes com formas bem irregulares e tais que o novo mapa não pudesse ser colorido apenas com quatro cores?
Respondeu com segurança o douto matemático:
— O problema que acabais de me propor é inteiramente insolúvel. Fosse, embora, o país dividido em vinte mil Estados poderíamos distinguir, no novo mapa, um Estado do outro empregando apenas quatro cores. E não ficariam dois Estados vizinhos indicados pela mesma cor.
— É incrível — objetou impaciente o príncipe mais moço — que meu pai, que foi sempre judicioso e esclarecido, tenha imposto para a partilha do Reino uma condição que a ciência declara impossível!
— Quero crer — respondeu o matemático — que vosso pai agiu com grande sabedoria e prudência. Exigindo para a partilha do reino uma condição reputada inviável ele quis apenas mostrar a seus herdeiros que a divisão do reino em pequenos Estados seria um erro grave, uma medida desastrosa para o povo. Da divisão resultaria a fraqueza, a desordem, a decadência. Se o país se conservar unido sob um chefe único, continuará poderoso e forte!
Os príncipes — impressionados com as judiciosas palavras do sábio e resolvidos a obedecer aos conselhos paternos, desistiram de seus planos ambiciosos. Entregaram o governo ao mais velho e conservaram para a felicidade do povo, a integridade territorial do país.
Uassalam!
Malba Tahan.

segunda-feira, 10 de novembro de 2008

Tales de Mileto

Tales nasceu na cidade grega de Mileto, por volta do ano 624 a.C.. Rico comerciante de azeite, tinha na Matemática uma de suas paixões. Dotado de inteligência rara, foi o primeiro a utilizar os métodos dedutivos em geometria. Atribui-se a ele a demonstração de vários teoremas, entre eles:
  • Um círculo é dividido por um diâmetro em duas partes iguais.
  • Os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais.
  • Os pares de ângulos opostos, formados por duas retas que se cortam (ângulos opostos pelo vértice), são iguais.
  • Se dois triângulos são tais que dois ângulos e um lado de um deles são iguais, respectivamente, a dois ângulos e um lado de outro, então os triângulos são congruentes (caso ALA de congruência).
  • Um feixe de retas paralelas determina sobre duas transversais segmentos proporcionais.
Muitos historiadores acreditam que a geometria grega tenha começado com os trabalhos de Tales.
Há um fato pitoresco na história deste grande matemático, segundo o qual teria conseguido medir a altura das pirâmides do Egito, sem subir nelas, inaugurando, dessa forma, o que se chama hoje de método indireto de medida.
Seu procedimento foi simples: no deserto, próximo da grande pirâmide, pegou uma vara, fincou-a na areia e ficou observando a sombra que esta projetava. Quando o comprimento da sombra se tornou igual ao comprimento da parte da vara que estava fora da areia, pediu que medissem o comprimento da sombra da pirâmide. A altura da pirâmide seria igual ao comprimento da sombra da pirâmide, somado com metade da medida do lado da base da pirâmide.
Veja a ilustração a seguir:



O procedimento de Tales justifica-se facilmente: quando a vara e a sombra ficam com o mesmo tamanho, a figura que formam é um triângulo retângulo isósceles. O mesmo acontece com a figura formada pela pirâmide e sua sombra. Obtém-se, dessa maneira dois triângulos semelhantes, e a altura da pirâmide fica determinada, sem que se tenha de subir nela.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V8, Editora Moderna, 1996.

sábado, 8 de novembro de 2008

Os pitagóricos e os números

Pitágoras, nascido na ilha de Samos, viveu entre os anos 580 e 500 a.C.. Ainda moço, deixou sua terra natal e viajou durante muito tempo pelo Egito e Babilônia, tendo, provavelmente, chegado até a Índia. Durante suas viagens, adquiriu conhecimentos não apenas de Matemática, mas também de Filosofia, Astronomia e Religião. Mais tarde, estabeleceu-se em Crotona, na Magna Grécia, onde fundou uma escola, uma espécie de sociedade secreta, cujos membros, escolhidos sob critérios rígidos, deviam obedecer a regras inflexíveis. Eles passaram a ser conhecidos como pitagóricos.
Uma das principais características dos pitagóricos era o estudo da Matemática e da Filosofia. Acredita-se mesmo, que as palavras filosofia (que significa "amor à sabedoria") e matemática (que significa " aquilo que é aprendido") tenham sido criadas por Pitágoras e seus discípulos.
Os pitagóricos tinham por lema a frase "tudo é número". Para eles o universo era regido por números. Tão surpreendente era o fascínio que tinham pelos números que chegaram a criar uma espécie de mística numérica. Diziam eles:


  • O número um é o gerador dos números e o número da razão.
  • O número dois é o primeiro número par e feminino, é o número da opinião.
  • O número três é o primeiro número masculino, é o número da harmonia, sendo composto de unidade e diversidade, presente nos princípios ternários como a família (pai, mãe e filho).
  • O quatro é o número da justiça ou retribuição indicando o ajuste de contas.
  • O cinco é o número do casamento, união dos primeiros números feminino e masculino. Era o número do amor.
  • O número seis era o número da criação.

Para os pitagóricos, cada número tinha sua peculiaridade, mas o mais sagrado era o número dez, pois representava a soma de todas as possíveis dimensões geométricas. Um ponto gera as dimensões, dois pontos determinam uma reta de dimensão um, três pontos não alinhados determinam um triângulo com área de dimensão dois, quatro pontos não situados num mesmo plano determinam um tetraedro (pirâmide de base triangular) com volume de dimensão três. Esses números, que representam todas as dimensões, quando somados, dão origem ao número dez, considerado, por esse motivo, o número do Universo.

Adaptado de História da Matemática de Carl B. Boyer, Edgar Blücher, pp. 35 a 42, 1993.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V8, Editora Moderna, 1996.

Os postulados de Euclides

Por volta do ano 300 a.C., Alexandre, o Grande, havia submetido todos os povos do Mediterrâneo. Alexandria, na foz do Rio Nilo, torna-se a principal capital da cultura grega. É ali que o matemático Euclides começa a colecionar as descobertas e os teoremas formulados por Tales, Pitágoras, Demócrito e outros grandes matemáticos gregos.






Euclides sistematiza essas descobertas em Os elementos, com treze volumes, reunindo praticamente tudo o que a humanidade sabe até hoje sobre pontos, retas, planos, figuras geométricas elementares. A obra também sintetiza a aritmética até então conhecida, estabelece as primeiras relações algébricas e a primeira teoria dos números. Resume esses conhecimentos em dez premissas básicas:

Postulados:

  1. Pode-se traçar uma linha reta de qualquer ponto para qualquer ponto.
  2. Pode-se prolongar uma reta finita, continuamente, em uma linha reta.
  3. Pode-se traçar um círculo, tendo-se qualquer ponto como centro, com raio igual a qualquer reta traçada a partir do centro.
  4. Todos os ângulos retos são iguais entre si.
  5. Dados uma linha reta e qualquer ponto situado fora dela, pode-se traçar por esse ponto uma reta, e apenas uma, paralela à primeira.

Noções comuns:

  1. Coisas iguais a uma terceira são iguais entre si.
  2. Acrescentando-se quantidades iguais a coisas iguais entre se, obtém-se somas iguais.
  3. Subtraindo-se quantidades iguais de coisas iguais entre si, os restos serão iguais.
  4. As coisas que coincidem umas com as outras são iguais entre si.


Adaptação feita do Almanaque Abril 95 (versão em CD-ROM) e de História da Matemática, de Carl B. Boyer.

Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V7, Editora Moderna, 1996.

Malba Tahan - Dados biográficos

Ao sexto dia do mês de maio de 1895 nascia na cidade do Rio de Janeiro um menino ao qual foi dado o nome de Júlio César de Mello e Souza, filho de João de Deus de Mello e Souza e Dona Carolina. Fez seus primeiros estudos na cidade de Queluz, cursou o Colégio Pedro II e formou-se em Engenharia Civil pela Escola Politécnica do Rio de Janeiro, profissão que aliás, nunca exerceu, preferindo dedicar-se ao magistério, ao jornalismo e à literatura. Foi professor do Instituto de Educação do Rio de Janeiro, do Colégio Pedro II, da Escola Nacional de Belas Artes e da Faculdade Nacional de Arquitetura.
Seu gosto pela literatura remonta aos tempos de escola onde fazia redações que vendia a seus colegas. Sua consagração como escritor, entretanto, aconteceu a partir de 1925 com a publicação de seu primeiro livro intitulado Contos de Malba Tahan, e desde então, Júlio César de Mello e Souza passou a adotar o pseudônimo de Malba Tahan.
Tão genial e fértil era a imaginação de Júlio César de Mello e Souza que criou para o personagem e escritor Malba Tahan uma biografia própria, como se este vida tivesse. Teria Malba Tahan nascido no dia 6 de maio de 1885, na aldeia de Muzalit, perto da antiga cidade de Meca, na Península Arábica. Seu nome completo era Ali Yezzid Eddin Ibn Salin Hank Malba Tahan. Estudou no Cairo e em Constantinopla, e em 1912, portanto com 27 anos de idade, recebeu uma grande herança do pai, o que lhe permitiu viajar por várias partes do mundo com o propósito de pesquisar os costumes e as tradições de diferentes povos, o que deixou registrado nos diversos livros que escreveu.
Júlio César de Mello e Souza nos deixou um legado de 120 obras, entre elas: Céu de Allah, Maktub, A Arte de Ler e de Contar Histórias, O Homem que Calculava, As Maravilhas da Matemática, A Sombra do Arco-Iris, Lendas do Deserto, As Grandes Fantasias da Matemática, etc., o que faz dele um dos maiores escritores brasileiros nesse gênero
Seu livro mais famoso e mais vendido é O Homem que Calculava, traduzido para diversos idiomas, inclusive o espanhol e o inglês, foi escrito na forma de romance, onde, de maneira brilhante são apresentadas lendas do povo árabe, recreações matemáticas e diversos problemas curiosos cuja solução exige apenas o bom senso e o raciocínio do leitor.
Júlio César de Mello e Souza morreu no dia 18 de julho de 1974 em Recife depois de uma palestra proferida a um grupo de normalistas sobre a arte de contar histórias.


Francisco Ismael Reis

O duende e a caixinha mágica

Esta é uma história antiga que se passa num dos bosques do principado de Liechtenstein, uma região montanhosa da Europa central compreendida entre a Áustria e a Suíça.
Enquanto se dirigia ao Castelo de Gutenberg, Sheinov, um humilde camponês, deparou-se com um duende que se dizia possuidor de uma caixinha mágica.
- Bondoso senhor - disse o duende -, minha missão nesta terra é poder ajudar as pessoas que, como vós, tra­balham de sol a sol para que outros tirem proveito daqui­lo que por direito vos deveria pertencer.
Entusiasmado com as palavras do duende, Sheinov quis saber como poderia ser essa ajuda.
- É simples, meu bom homem. Tenho comigo uma caixinha mágica que tem o poder de duplicar a quantia que nela se coloca, bastando para isso uma modesta contribuição à minha pessoa de oito moedas, se a mágica se realizar.
Animado com a idéia, Sheinov entregou ao duende toda a quantia que possuía. Este de imedia­to a colocou na caixinha, fechando-a, e pronunciou a palavra "alcavala". Ao abrir a caixinha, os olhos do humilde camponês se arregalaram ao constatar que sua quantia havia realmente duplicado.
Encorajado pela idéia de poder resolver todos os seus problemas e de conquistar a almejada in­dependência financeira, Sheinov tomou a quantia, separou as oito moedas com que pagou ao duende e pediu-lhe que repetisse a operação.
O duende assim o fez. Mais uma vez a quantia foi duplicada e, mais uma vez, Sheinov retirou dela as oito moedas com que pagou ao duende.
Cada vez mais confiante, o agora não tão humilde camponês pediu ao duende que repetisse a operação pela terceira vez. Este atendeu ao seu desejo e, mais uma vez, a quantia foi duplicada. Para espanto de Sheinov, ao separar as oito moedas com que iria pagar ao duende, verificou que havia fi­cado sem nada. Tinha perdido todo o seu dinheiro, e o duende, da mesma forma que lhe havia apare­cido, desapareceu.
Desolado e cabisbaixo, Sheinov continuou seu caminho rumo ao Castelo de Gutenberg.
Será o leitor capaz de responder quantas moedas Sheinov carregava consigo, antes de se de­parar com o duende?



Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V7, Editora Moderna, 1996.


Gauss e uma soma inteligente

Carl Friedrich Gauss (1777-1855), nasceu em Brunswick, na Alemanha, e é considerado um dos maiores matemáticos de todos os tempos. Seus trabalhos não se restringem apenas à Matemática, aparecendo também no campo da Física e da Astronomia.
Sua precocidade é relatada através de muitas histórias e a mais interessante refere-se a um fato ocorrido quando tinha dez anos de idade e cursava o terceiro ano primário.
Conta-se que durante uma das aulas de Aritmética o professor pediu aos alunos que calculassem o valor da soma:



S = 1 + 2 + 3 + ... + 99 + 100

Não levou muito tempo para que Gauss escrevesse a resposta, 5050, em sua pequena lousa, e a colocasse na mesa do incrédulo professor, enquanto seus colegas ainda efetuavam a soma dos números, um a um.
Ao término da aula, mais estupefato ainda ficou o professor, ao constatar que a única resposta certa havia sido dada por Gauss, que justificou assim seu procedimento:
“A soma de 1 com 100, de 2 com 99, de 3 com 98, e assim por diante, é sempre igual a 101. Como na soma desejada o número 101 aparece 50 vezes, basta que se multiplique 101 por 50 para obter o resultado procurado”, e isto, Gauss, fez em pouco tempo e sem dificuldades.



Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática V7, Editora Moderna, 1996.




quinta-feira, 6 de novembro de 2008

O problema do Prof. Igino

O Prof. Igino Rotta, um grande amigo, um excelente colega de trabalho e uma referência em Desenho Geométrico, me propôs certo dia um belo problema de tangência, cujo enunciado é o seguinte:


São dadas duas circunferências, a menor, de raio r e centro A tangente interiormente a outra, maior, de centro B e raio 2r. Encontrar uma terceira circunferência, de centro D, tangente interiormente à circunferência maior, exteriormente à circunferência menor e ao eixo determinado pelos centros das duas circunferências dadas.

O problema, suposto resolvido, se apresenta conforme figura abaixo:





O primeiro ímpeto de um professor de desenho geométrico é resolver o problema geométricamente, utilizando régua e compasso. Foi esse também o meu erro, visto que a solução deve ser dada, inicialmente, de forma matemática, encontrando-se por meio da aplicação do Teorema de Pitágoras, o raio da circunferência procurada, para, num segundo momento, se partir para a construção geométrica da mesma.

Eis a solução matemática do problema: (clique na figura para ampliá-la)





Deixo registrados aqui meus agradecimentos ao Prof. Igino (Iginovski) pelo presente que compartilhou comigo na forma de um belo problema de Desenho Geométrico. Para nós, matemáticos, os momentos que sucedem àquele em que encontrarmos a solução de um problema como esse, são de pleno êxtase.
Um abraço.


Nota importante:

O problema apresentado acima, foi enviado ao Prof. Igino por Kelson Fernandes Silva, estudante do curso de Matemática em Teresina.
Espero, Kelson, que essa sua determinação pela busca incessante de novos conhecimentos se mantenha sempre firme, pois é ela que nos diferencia como profissionais.

segunda-feira, 3 de novembro de 2008

A origem dos números fracionários

A criação dos números fracionários, acredita-se, que se deve aos egípcios habitantes das margens do rio Nilo.
Uma vez por ano, as águas do Nilo subiam e inundavam grandes áreas de terra, desmarcando os limites das propriedades daqueles que moravam próximos às suas margens. Era necessário, então, que após baixarem as águas, novos limites fossem demarcados. Nesse processo, a unidade de medida adotada, na maior parte da vezes, não cabia um número inteiro de vezes nos lados do terreno, o que forçou a criação de um novo tipo de número, que representasse um pedaço do inteiro. Surgia o número fracionário.
A utilização das frações pelos egípcios aparece em um papiro escrito, entre os anos 2000 e 1600 antes de Cristo por um escriba de nome Ahmes. Nesse papiro, aparece uma tabela para a decomposição de certas frações em somas de frações unitárias - frações de numerador igual a um.
Os egípcios representavam as frações unitárias, usando um sinal oval alongado como numerador e, como denominador, os símbolos normalmente utilizados para representar inteiros.
Veja, ao lado, como eram representadas algumas dessas frações:



Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática Vol. 5, Editora Moderna, 1996.

O Homem Vitruviano



O Homem Vitruviano é um desenho famoso que acompanhava as notas que Leonardo da Vinci fez ao redor do ano 1490 num dos seus diários. Descreve uma figura masculina desnuda separadamente e simultaneamente em duas posições sobrepostas com os braços inscritos num círculo e num quadrado. A cabeça é calculada como sendo um décimo da altura total. Às vezes, o desenho e o texto são chamados de Cânone das Proporções.

O desenho atualmente faz parte da colecção/coleção da Gallerie dell'Accademia (Galeria da Academia) em Veneza, Itália.
Examinando o desenho, pode ser notado que a combinação das posições dos braços e pernas formam quatro posturas diferentes. As posições com os braços em cruz e os pés são inscritas juntas no quadrado. Por outro lado, a posição superior dos braços e das pernas é inscrita no círculo. Isto ilustra o princípio que na mudança entre as duas posições, o centro aparente da figura parece se mover, mas de fato o umbigo da figura, que é o verdadeiro centro de gravidade, permanece imóvel.

O Homem Vitruviano é baseado numa famosa passagem do arquitecto/arquiteto romano Marcus Vitruvius Pollio, em que ele descreve as proporções do corpo humano:
  • Um palmo é a largura de quatro dedos.
  • Um pé é a largura de quatro palmos.
  • Um antebraço é a largura de seis palmos.
  • A altura de um homem é quatro antebraços (24 palmos).
  • Um passo é quatro antebraços.
  • A longitude dos braços estendidos de um homem é igual à altura dele.
  • A distância entre o nascimento do cabelo e o queixo é um décimo da altura de um homem.
  • A distância do topo da cabeça para o fundo do queixo é um oitavo da altura de um homem.
  • A distância do nascimento do cabelo para o topo do peito é um sétimo da altura de um homem.
  • A distância do topo da cabeça para os mamilos é um quarto da altura de um homem.
  • A largura máxima dos ombros é um quarto da altura de um homem.
  • A distância do cotovelo para o fim da mão é um quinto da altura de um homem.
  • A distância do cotovelo para a axila é um oitavo da altura de um homem.
  • A longitude da mão é um décimo da altura de um homem.
  • A distância do fundo do queixo para o nariz é um terço da longitude da face.
  • A distância do nascimento do cabelo para as sobrancelhas é um terço da longitude da face.
  • A altura da orelha é um terço da longitude da face.
O redescobrimento das proporções matemáticas do corpo humano no século XV por Leonardo e os outros é considerado uma das grandes realizações que conduzem ao Renascimento italiano.
O desenho também é considerado freqüentemente como um símbolo da simetria básica do corpo humano e, para extensão, para o universo como um todo. É interessante observar que a área total do círculo é idêntica 'a área total do quadrado e este desenho pode ser considerado um algoritmo matemático para calcular o valor do número irracional 'pi'.



Retirado de "http://pt.wikipedia.org/wiki/Homem_Vitruviano"

domingo, 2 de novembro de 2008

Multiplicação russa

Os antigos camponeses russos utilizavam-se de um processo curioso para obter o produto de dois números. Vamos através da multiplicação de 42 por 31, ilustrar essa téc­nica.
Colocamos os fatores um ao lado do outro. Em seguida dividimos o primeiro fator por 2 (42 : 2 = 21) e multiplicamos o segundo fator por 2 (31 . 2 = 62), escrevendo os resul­tados em baixo dos fatores correspondentes.
Repetimos o processo com os resulta­dos obtidos. Como 21 é ímpar, antes de dividi-lo por 2, subtraímos do mesmo 1 unidade e só então efetuamos a divisão com o resultado encontrado (20 : 2 = 10) e (62 . 2 = 124). Ao escrevermos os resultados, fazemos uma marca ao lado do número 62, que se encontra na coluna da direita, para indicar que o mesmo é o correspondente de um valor ímpar, na co­luna da esquerda.
O processo termina quando na coluna da esquerda encontramos o valor 1.
Somamos os valores da coluna da direita que se encontram assinalados:
62 + 248 + 992 = 1302
O resultado obtido, curiosamente, é o resultado da multiplicação de 42 por 31.
Experimente com outros números.



Reis, Ismael. Fundamentos da Matemática Vol. 5 , Editora Moderna, 1996.